Интеграл Эйлера и связанные с ним интегралы (примеры)

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |

| Пределы | Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы |

Интеграл Эйлера и связанные с ним интегралы (примеры)

Несобственные интегралы: Примеры

Несобственные интегралы первого рода Признаки сравнения Эталонные p-интегралы первого рода Признаки сходимости Абеля и Дирихле Эталонные P–интегралы от неограниченных функций Некоторые приемы исследования интегралов на сходимость Интеграл Эйлера и связанные с ним интегралы Главное значение интеграла

Пример 1. Вычислить интеграл Эйлера

Сходимость этого интеграла установлена ранее (см. раздел "Некоторые приемы исследования интегралов на сходимость"). Однако мы повторно рассмотрим проблему сходимости интеграла Эйлера, взяв за основу признак сходимости. Представим интеграл Эйлера в виде

(1)

Однако

Тогда интеграл в правой части уравнения (1) сходится, поскольку сходится интеграл

.
Для вычисления интеграла Эйлера используем подстановку x = 2t :

(2)

Преобразуем последний интеграл, выполнив замену переменной

(3)

Комбинируя два последних члена в равенстве (2), получаем

(4)

Подстановка полученных результатов в равенство (2) приводит к следующему линейному уравнению для искомого интеграла I :

(5)

Таким образом,

(6)

***

Пример 2. Чтобы вычислить интеграл

выполним интегрирование по частям. Выбирая

получаем

(7)

Первый член в правой части этого равенства обращается в нуль при подстановке пределов (см. "Некоторые приемы исследования интегралов на сходимость") и, следовательно,

(8)

***

Пример 3. Такой же результат получается для интеграла

Действительно, выполним подстановку

Тогда

(9)

***

Пример 4. Рассмотрим интеграл

Выполним интегрирование по частям, выбирая

Тогда

(10)