Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
Решение. Очевидно, что этот интеграл расходится при s ≤ 0. Поэтому в дальнейшем будем считать, что s > 0.
Определим функции f(x) и g(x) соотношениями
Эти функции удовлетворяют условиям Дирихле, а именно: первообразная синуса является ограниченной функцией; функция монотонно стремится к нулю при x → +∞. Следовательно, при s > 0 интеграл от произведения этих функций сходится на указанном промежутке.
Если 0 < p ≤ 1, то рассматриваемй интеграл сходится и при A = 0, поскольку в этом случае точка 0 не является особой.
***
Пример 2. Несобственный интеграл
сходится при s > 0, поскольку функции
удовлетворяют условиям Дирихле.
***
Пример 3. Показать, что интеграл
сходится.
Решение. Обратимся к примеру 1 и положим p = 1. Тогда нижний предел интегрирования можно выбрать равным 0, потому что подынтегральная функция в этом случае имеет конечный предел при x → 0.
***
Пример 4. Показать, что интеграл
расходится.
Решение. Предположим, что этот интеграл сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и интеграл
,
поскольку и A > 0.
Представим последний интеграл в виде
и прибавим к нему сходящийся интеграл
В результате мы получаем p-интеграл
который согласно сделанноиу предположению должен быть сходящимся. Возникшее противоречие доказывает исходное утверждение.
монотонно стремится к нулю при x → +∞. Следовательно, при s > 0 интеграл от произведения этих функций сходится на указанном промежутке.
,
и A > 0.
