Пример 1. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. Первообразная подынтегральной функции является неограниченной функцией в окрестности особой точки x = 0 :
Интеграл расходится.
***
Пример 2. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. Первообразная функция является непрерывной функцией в особой точке x = 0 :
***
Пример 3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .
Решение. Поскольку в окрестности особой точки x = 0 выполняется неравенство
и интеграл расходится, то расходится и исследуемый интеграл.
***
Пример 4. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. Интеграл расходится, поскольку первообразная функция неограничена в окрестности особой точки x = 1:
***
Пример 5. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. Первообразная функция обращается в бесконечность в особой точке x = 1:
***
Пример 6. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .
Решение. В окрестности особой точки x = 1 подынтегральная функция является бесконечно большой порядка 1/2 по сравнению с . Следовательно, интеграл сходится.
***
Пример 7. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .
Решение. Особой точкой является x = y, в окрестности которой разность косинусов имеет тот же порядок малости, что и разность их аргументов:
.
Тогда подынтегральная функция является бесконечно большой порядка 1/2 по сравнению с и исследуемый интеграл сходится.
***
Пример 8. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .
Решение. В окрестности особой точки x = 0 разность представляет собой бесконечно малую первого порядка по сравнению с x:
.
Тогда подынтегральная функция является бесконечно большой первого порядка по сравнению с и интеграл расходится.
***
Пример 9. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .
Решение. В окрестности особой точки x = 0 подынтегральная функция ведет себя как . Следовательно, интеграл сходится.
.
.
.
расходится, то расходится и исследуемый интеграл.
.
.
.
. Следовательно, интеграл сходится.
.
.
и исследуемый интеграл сходится.
.
представляет собой бесконечно малую первого порядка по сравнению с x:
.
и интеграл расходится.
.
. Следовательно, интеграл сходится.