Пример 1. Доказать сходимость интеграла Эйлера
Заметим, что подынтегральная функция пробегает значения от –1 до 1 и не имеет предела при x → ∞.
Интегрируя по частям, получаем
(1)
Учитывая предельное соотношение
заключаем, что интеграл в правой части уравнения (1) является собственным, а первый член равен нулю:
Таким образом, рассматриваемый интеграл представлен в виде собственного интеграла
(2)
что доказывет его сходимость.
***
Пример 2. Чтобы доказать сходимость интеграла выполним подстановку Тогда
(3)
Полученный интеграл сходится.
***
Пример 3. Аналогично устанавливается сходимость интеграла
Действительно, представим этот интеграл в виде
(4)
где A - конечное положительное число.
Первый член в правой части этого равенства представляет собой собственный интеграл. Преобразуем второе слагаемое, выполнив подстановку
(5)
Полученный интеграл сходится.
***
Пример 4. Покажем, что интеграл
сходится, если функция g(x) монотонно стремится к нулю при x → +∞
Представим интеграл в виде
.
Поскольку
то условия теоремы выполняются и данный интеграл сходится.
выполним подстановку 
Тогда
.
