Конев В.В. Определенные интегралы
| Разделы курса |
Примеры |
Калькулятор |
|
Пределы
| Дифференцирование
| Неопределенные интегралы |
Несобственные интегралы |
Площадь плоской области (примеры)
Определенные интегралы: Примеры
Площадь плоской фигуры
Формула Ньютона–Лейбница
Интегрирование заменой переменной
Интегрирование по частям
Интегрирование четных и нечетных функций
Интегрирование периодических функций
Площадь плоской области
Длины дуги кривой, заданной в явном виде
Длины дуги кривой, заданной в параметрическом виде
Длины дуги кривой, заданной в полярных координатах
Объемы тел
Пример 1
. Найти площадь области, заключенной между линиями
y
= 3
x
и
.
Решение
. Абсциссы точек пересечения заданных линий являются пределами интегрирования и представляют собой решения уравнения
:
x
1
= 0, и
x
2
= 3.
Тогда
***
Пример 2
. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
.
Рис. 1
. Деления на окружности соответствуют значениям полярной координаты
. Деления на вертикальной линии – значениям полярной координаты
r
.
Решение
.
***
Пример 3
. Найти площадь фигуры, ограниченной осью 0
x
и одной аркой циклоиды
.
Рис. 2
. Первая арка циклоиды. Циклоида представляет собой линию, которую описывает точка на ободе катящегося без проскальзывания колеса.
Решение
. Представим интеграл
в терминах переменной
t
.
Учитывая, что
x
(0)=0,
и
, получаем
***
Пример 4
. Найти площадь круга радиуса
R
.
.
Рис. 3
. Окружность радиуса
R
Решение
. Уравнение окружности
принимает наиболее простой вид при переходе к полярной системе координат:
r
=
R
.
Тогда
***
Пример 5
. Найти площадь эллипса с полуосями
a
и
b
.
Рис. 4
. Эллипс с полуосями
a
и
b
.
Решение
. Представим уравнение эллипса в параметрическом виде:
Найдем пределы интегрирования:
x
= –
a
при
;
x
=
a
при
t
= 0.
Учитывая, что
dx
=
и меняя местами пределы интегрирования, вычисляем площадь:
***
Пример 6
. Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой
и осью ординат.
Рис. 5
. Область, ограниченная параболой
и осью ординат.
Решение
. Поскольку переменные
x
и
y
поменялись ролями, то площадь вычисляется по формуле
где
и
– точки пересечения параболы с осью ординат.
Таким образом,
.
:
.
. Деления на вертикальной линии – значениям полярной координаты r.
.
в терминах переменной t.
и 
, получаем
.
принимает наиболее простой вид при переходе к полярной системе координат: r = R.
;
и меняя местами пределы интегрирования, вычисляем площадь:
и осью ординат.
и 
– точки пересечения параболы с осью ординат.
