Конев В.В. Определенные интегралы
| Разделы курса |
Примеры |
Калькулятор |
|
Пределы
| Дифференцирование
| Неопределенные интегралы |
Несобственные интегралы |
Интегрирование периодических функций (примеры)
Определенные интегралы: Примеры
Площадь плоской фигуры
Формула Ньютона–Лейбница
Интегрирование заменой переменной
Интегрирование по частям
Интегрирование четных и нечетных функций
Интегрирование периодических функций
Площадь плоской области
Длины дуги кривой, заданной в явном виде
Длины дуги кривой, заданной в параметрическом виде
Длины дуги кривой, заданной в полярных координатах
Объемы тел
Пример 1
. Пусть
f
(
x
) - периодическая функция с периодом 2π:
Показать, что для любого целого числа
k
выполняются равенства
Решение
. В соответствии с теоремой можно изменить пределы интегрирования периодических функций:
Для завершения доказательства достаточно учесть, что
интеграл от четной функции
в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку;
интеграл от нечетной функции
в симметричных пределах равен нулю.
***
Пример 2
. Пусть
f
(
z
) - непрерывная на промежутке [0, 1] функция. Показать, что
Решение
. Выполним подстановку
:
в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку;
в симметричных пределах равен нулю.
:
