Конев В.В.   Комплексные числа

| Словарь | Калькулятор |
 
| Разделы курса | Примеры | Интерактивные страницы |
Приложения
                              Комплексные числа и произведения векторов
        Обратимся к рисунку 7, на котором в комплексной плоскости изображены векторы и , соответствующие комплексным числам и .

Рис. 7. Векторное представление комплексных чисел.
Составим произведение комплексных чисел и
 
(1)  
Вещественная часть этого произведения представляет собой скалярное произведение векторов a и b:
.
В терминах комплексных чисел косинус угла φ между векторами a и b вычисляется по формуле
  (2)  
Мнимая часть произведения (1) представляет собой определитель второго порядка, составленный из координат векторов a и b:
  (3)  
Поскольку векторы  a  и  b  расположены в плоскости  x0y, то абсолютная величина их векторного произведения совпадает - с точностью до знака - с определителем (3):
  . (4)  
Этот определитель совпадает – с точностью до знака – с абсолютной величиной векторного произведения векторов a и b, которая в свою очередь равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, то есть удвоенной площади представленного на рисунке 7 треугольника. Таким образом, для площади плоского треугольника с вершинами в точках с координатами (0,0), и справедлива формула
  (5)  
      Формулы (2) и (5) допускают обобщение для произвольного плоского треугольника с вершинами в точках и .

Рис. 8. Плоский треугольник, построенный на векторах a и b.
В этом случае одну из точек, например, точку C следует рассматривать в качестве начала векторов a и b. Тогда
   
  (6)  
  (7)