| |
Формула Эйлера устанавливает взаимосвязь между экспоненциальной функцией  и тригонометрическими функциями  и  на множестве комплексных чисел:
| |
 .
|
(1) |
|
Доказательство формулы Эйлера основано на представлении этих функций в виде степенных рядов и при первом чтении может быть опущено без ущерба для понимания последующего изложения.
Заметим, что и представляют собой соответственно вещественную и мнимую части экспоненциальной функции :
| |
 .
|
(2) |
|
Выполним в формуле Эйлера замену  :
| |
|
(3) |
|
Выполнив почленное сложение и вычитание выражений в обеих частях равенств (1) и (3), получим
что влечет
| |
 .
|
(4) |
|
Таким образом, тригонометрические функции и представлены в виде линейных комбинаций экспоненциальных функций и  .
Тангенс аргумента φ выражается через  :
|
