Конев В.В.   Комплексные числа

| Словарь | Калькулятор |
 
| Разделы курса | Примеры | Интерактивные страницы |
Основные понятия
           Введение
 
      Многие математические и физические величины описываются с помощью упорядоченных наборов чисел – примерами могут служить векторы или матрицы. К числу такого рода понятий относятся и комплексные числа, которые определяются как упорядоченные пары (x, y) вещественных чисел  x  и  y.
      Для комплексных чисел определены правила действий над ними. Суть этих правил иллюстрируется следующими двумя примерами.
  1. Два комплексных числа (a, b) и (c, d) равны между собой, если  a = c  и одновременно  b = d.
  2. Сумма комплексных чисел (a, b) и (c, d) представляет собой комплексное число (a + c, b + d).
      Аналогичным образом устанавливаются правила умножения и деления комплексных чисел, которые однако выглядят уже не так просто. Не вдаваясь в детали, отметим, что комплексное число вида (a, 0) отождествляется с вещественным числом  a, тогда как комплексное число (0, 1) представляет собой некое новое число, квадрат которого равен (–1). Это число обозначается символом  i  и называется мнимой единицей.
      В конечном итоге выясняется, что любое комплексное число (x, y) может быть представлено в виде
(x, y) = x + iy.
При этом с точки зрения алгебраических преобразований комплексных чисел все выглядит так, будто множество вещественных чисел формально дополнено мнимой единицей - с сохранением всех правил действий над вещественными числами. Следует только помнить, что каждый раз, когда встретится число i 2, его нужно заменять на (–1).
Например,
  1. (2 + 3i) + (7 – i) = 9 + 2i
    (Фактически просто выполнено приведение подобных.)
  2. (2 + 3i)·(7 – i) = 17 + 19i
    (Раскрытие скобок, приведение подобных, замена i 2 на –1)
  3. i 3 = i 2 · i = – i.
  4. Уравнение  x 2 = –1  имеет два корня:  + i  и  – i.
    Проверка:  (± i) 2 = –1.
      Психологически число i порой воспринимается с некоторой настороженностью, поскольку из школьного курса алгебры укоренилось впечатление, что не бывает чисел, которые в квадрате дают (–1); мнимую единицу нельзя "потрогать" и так далее.
      Чтобы преодолеть подобный барьер, давайте сопоставим число  i  с числом , которое тоже не очень-то просто сравнить с чем-нибудь материальным – типа количества кубиков. При этом число позволяет записать корни уравнения  x 2 = 2 , а квадрат этого числа равен вполне понятному числу 2.
      В этом смысле число  i  столь же "нормальное", что и - мнимая единица позволяет записать корни уравнения  x 2 = –1 , а ее квадрат выглядит и совсем просто:  i 2 = –1.
        Многие математические и физические величины описываются с помощью упорядоченных наборов чисел. Простейшими примерами могут служить векторы или матрицы. К числу такого рода понятий относятся и комплексные числа, которые определяются как упорядоченные пары (x, y) вещественных чисел  x  и  y, удовлетворяющие заданным правилам действий над ними.
     Комплексные числа записываются в виде , а правила алгебраических преобразований выражений такого рода совпадают с обычными правилами действий над вещественными числами. Все выглядит так, как будто множество вещественных чисел дополнено числом нового типа, называемого мнимой единицей  i, которую можно воспринимать как некий символ, но каждый раз, когда возникает число , его следует заменять на (–1).
     Комплексные числа вида представляют собой обычные вещественные числа. Например, комплексное число есть вещественное число 5.
Примеры
      Стремление к расширению класса вещественных чисел посредством добавления чисел нового типа диктовалось соображениями различного рода. Возможно, что основоположники математики не могли смириться с тем обстоятельством, что алгебраическое уравнение не имеет решений (в классе вещественных чисел). Подобного рода проблема, относящаяся к уравнению в свое время дала толчок к развитию множества иррациональных чисел. Поэтому введение числа i, квадрат которого равен (–1), явилось логическим шагом на пути обобщения множества вещественных чисел.
     Однако значение комплексных чисел в современном естествознании выходит далеко за рамки проблемы решений простейших уравнений. Не вдаваясь в детали, приведем несколько примеров, иллюстрирующих исключительно важную роль комплексных чисел в математике и физике.
  1. Основная теорема алгебры устанавливает, что любой многочлен степени  n  с вещественными коэффициентами имеет ровно  n  корней (в общем случае – комплексных). Нахождение этих корней является одним из элементов алгоритма решения некоторых типов дифференциальных уравнений.

  2. Комплексные числа позволяют установить взаимосвязь между тригонометрическими функциями и показательной функцией с комплексным показателем степени. В результате оказывается, что каждую тригонометрическую функцию можно выразить через линейную комбинацию показательных функций, а обратные тригонометрические функции выражаются через обратную показательную функцию (логарифм).

  3. Вычисление многих интегралов, относящихся к разряду "неберущихся" (в смысле нахождения первообразных в классе элементарных функций), превращается в почти тривиальную проблему при использовании аппарата теории функций комплексной переменной.

  4. Комплексные числа лежат в основе математического аппарата квантовой физики. Например, ключевое уравнение квантовой механики – уравнение Шрёдингера – содержит мнимую единицу. Решения этого уравнения также включают в себя число i. Однако конечные формулы для расчета наблюдаемых физических характеристик уже не содержат комплексных чисел. Мнимая единица сделала свое дело и скромно удалилась!
      Приведем цитаты из книги Лаврентьева М.А. и Шабата Б.В. "Методы теории функций комплексного переменного".
     "Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIII в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707—1783), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В замечательных работах Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного, включая логарифм, показательную, тригонометрические и обратные тригонометрические функции (1740—1749), даны условия дифференцируемости (1755) и начала интегрального исчисления функций комплексного переменного (1777). Леонард Эйлер привел также многочисленные приложения функций комплексного переменного к различным математическим задачам и положил начало применению их в гидродинамике (1755— 1757) и картографии (1777).
     После Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине XIX в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. Основные заслуги здесь принадлежат Огюстену Коши (1789— 1857) и Карлу Вейерштрассу (1815—1897), развившим интегральное исчисление и теорию представления функций рядами, а также Бернхарду Риману (1826—1866), обосновавшему геометрические вопросы теории функций и их приложения".
     "Первое упоминание о «мнимых» числах как о корнях квадратных и отрицательных чисел относится еще к XVI в. (Дж. Кардано, 1545). До середины XVIII в. комплексные числа появляются лишь эпизодически в трудах отдельных математиков (И. Ньютон, Н. Бернулли, А. Клеро). Первое изложение теории комплексных чисел на русском языке принадлежит Л. Эйлеру («Алгебра», Петербург, 1763, позднее книга была переведена на иностранные языки и многократно переиздавалась): символ «i» также введен Л. Эйлером. Геометрическая интерпретация комплексных чисел относится к концу XVIII в. (датчанин Каспар Вессель, 1799 г.)".