Алгебраические операции

Основные понятия
Алгебраические операции

Основные понятия

Введение Геометрическая интерпретация Алгебраические операции Полярная система координат Тригонометрическая форма комплексных чисел Формула Эйлера Показательная форма комплексных чисел

Приложения

Суммы синусов и косинусов Комплексные числа и произведения векторов Комплексные корни

Любое вещественное число представляют собой частный случай комплексного числа. Поэтому правила действий над комплексными числами должны находиться в соответствии с правилами действий над вещественными числами.

Алгебра комплексных чисел является естественным обобщением алгебры вещественных чисел. Иначе говоря, оперируя с комплексными числами, можно приводить подобные, раскрывать скобки, одновременно умножать числитель и знаменатель дроби на ненулевое число и так далее.

Два комплексных числа и равны между собой, если попарно равны их вещественные и мнимые части:
Сумма комплексных чисел и есть комплексное число такое, что

Комплексные числа обладают теми же свойствами сложения, что и вещественные числа:

С геометрической точки зрения комплексные числа складываются и вычитаются по правилам сложения векторов:

Рис. 4. Сложение и вычитание комплексных чисел.

Чтобы перемножить комплексные числа и , нужно раскрыть скобки и заменить на (–1):

Комплексные числа обладают теми же свойствами умножения, что и вещественные числа:
Операция комплексного сопряжения обладает следующими легко проверяемыми свойствами:

Равенства

означают, что

Отметим, что для любого комплексного числа z произведение является неотрицательным вещественным числом:

Иначе говоря, квадрат суммы двух вещественных чисел можно разложить на линейные комплексные множители:
Деление на комплексное число z сводится к умножению на комплексно сопряженное число и делению на вещественное число :