Конев В.В.  Скалярные и векторные поля

| Словарь | Калькулятор | Тесты | Задачи и упражнения |
| Циркуляция. Поток. Дивергенция | Ротор. Типы полей. Системы координат |
Производная скалярного поля по направлению вектора
      Пусть функция описывает некоторое скалярное поле. Выберем произвольную точку и сместимся из нее на малый вектор в близко расположенную точку При этом значение функции изменяется на величину
     При обсуждении градиента скалярного поля было показано, что разность можно представить в виде скалярного произведения градиента и вектора смещения :
Разделим обе части этого равенства на величину вектора смещения. (Заметим, что отношение вектора смещения к его величине представляет собой единичный вектор    в направлении .) Далее выполним предельный переход
.
     Предел в левой части вышеприведенного равенства называется производной скалярного поля по направлению вектора  l  и записывается в виде
.
      Таким образом, производная функции по заданному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления:
.
Поскольку вектор направлен с сторону наиболее быстрого возрастания функции , а его величина равна скорости изменения в этом направлении, то проекция градиента поля на произвольное направление равна быстроте изменения функции в таком направлении.
     Следовательно, производная функции по направлению вектора  l  представляет собой скорость изменения в этом направлении.
     Заметим, что понятие производной функции по направлению вектора является обобщением понятия частной производной функции. Например, частную производную    можно интерпретировать как производную функции по направлению вектора  i, т.е. вдоль положительного направления оси  0x.
     Используя свойство скалярного произведения векторов, формулу для производной скалярного поля по направлению вектора можно представить в координатной форме записи:
.
Здесь   – координаты вектора ;  α,  β  и  γ  – углы, образованные вектором  l  с положительными направлениями координатных осей; направляющие косинусы  cos α,  cos β  и  cos γ  являются координатами единичного вектора  l .