Конев В.В.  Скалярные и векторные поля

| Словарь | Калькулятор | Тесты | Задачи и упражнения |
| Циркуляция. Поток. Дивергенция | Ротор. Типы полей. Системы координат |
Градиент скалярного поля
      Рассмотрим изменение скалярного поля при смещении из точки на малый вектор в близко расположенную точку
    

     Используя формулу Тейлора

,
изменение функции можно представить в виде
      Выражение в правой части этого равенства можно интерпретировать как скалярное произведение векторов, одним из которых является вектор смещения , а другим – вектор , называемый градиентом скалярного поля:
      Таким образом,
  (1)  
где θ – угол между векторами и .
     Из равенства (1) следует, что изменение принимает наибольшее значение, если направление вектора смещения совпадает с направлением . Другими словами, вектор  grad φ  направлен в сторону наиболее быстрого возрастания функции  φ, а его величина    равна быстроте изменения функции в этом направлении.
     Для большей наглядности предположим, что скалярное поле задано в плоской области. Тогда уравнение описывает некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Рис. 1. Направление вектора в некоторой точке показано стрелкой.
     Если вообразить себя находящимся в какой-то точке этой поверхности, то легко понять, что только в одном из направлений за один шаг можно подняться выше, чем за такой же шаг в любом другом направлении. Направление с наивысшей крутизной и является направлением вектора , а величина градиента определяется тангенсом угла наклона, соответствующего этому направлению.