Существуют различные способы задания функций, которые представляет собой те или иные правила сопоставления каждому значению одной величины соответствующее значение другой величины. Например, функция может быть задана графически, параметрически, в явном или неявном виде и т.д.
Один из весьма плодотворных подходов, позволяющих сформулировать соотношения между функциями, основан на использовании понятия оператора, то есть последовательного набора команд, осуществляющих преобразование одной функции в другую.
Например, равенство  можно рассматривать в качестве правила преобразования функции  в функцию f с помощью оператора дифференцирования  :
 .
Подобным образом можно интерпретировать формугу для градиента скалярного поля . Напомним, что
 ,
где i, j и k – единичные векторы прямоугольной системы координат.
Если формально вынести "общий множитель" и определить оператор  выражением
| |
 ,
|
(1) |
|
то  можно рассматривать как результат действия линейного дифференциального оператора на скалярную функцию :
 .
Таким образом,
 .
Приведем еще один аргумент в пользу операторной записи. Равенство  справедливо для любой скалярной функции . Поэтому его можно сформулировать в символическом виде (1), убрав упоминание о .
Во многих случаях с оператором можно обращаться как с обычным вектором, роль координат которого играют операторы
 , преобразующие справа расположенную функцию в соответствующие частные производные от этой функции.
Следует, однако, иметь в виду, что операторная алгебра несколько отличается от векторной. Так, оператор действует только на функцию, расположенную справа от оператора. Например,  представляет собой векторную функцию, тогда как  – векторный оператор, которому еще предстоит подействовать на ту функцию, которая окажется справа от него:
Свойства оператора .
-
-
-
-
Для примера докажем справедливость свойства 3:
|
