Конев В.В.  Скалярные и векторные поля

| Словарь | Калькулятор | Тесты | Задачи и упражнения |
| Циркуляция. Поток. Дивергенция | Ротор. Типы полей. Системы координат |
Линии и поверхности уровня скалярного поля
      Для наглядного изображения скалярного поля используются поверхности уровня и линии уровня.
     Поверхность уровня представляет собой множество всех точек пространства с одинаковыми значениями скалярного поля  . В любой точке поверхности уровня поле    принимает одно и то же значение  C  и, следовательно, уравнение поверхности уровня скалярного поля    имеет вид
     Очевидно, что никакие две поверхности уровня    и    не могут иметь общих точек, если  . В противном случае это означало бы, что поле    одновременно принимает различные значения в одной и той же точке пространства.
     Линии уровня используются для изображения скалярного поля, заданного в плоской области D. Каждая линия уровня представляет собой множество точек плоскости с одинаковыми значениями поля. Если область D расположена в плоскости x0y, то линии уровня скалярного поля    описываются уравнением
С помощью линий уровня изображают, например, рельеф местности на географических картах, соединяя одной кривой точки, имеющие одинаковую высоту над уровнем моря.
     Для некоторых поверхностей и линий уровня используются специальные названия.
  • Поверхности постоянной температуры называются изотермическими или изотермами.
  • Поверхности постоянного давления называются изобарическими или изобарами.
  • Поверхности постоянного потенциала называются эквипотенциальными.
  • Поверхности постоянной энергии называются изоэнергетическими.
      Скалярное поле, которое зависит только от расстояния  r  до некоторого центра, называется центральным или сферическим.
     Поверхности уровня центрального поля представляют собой концентрические сферы с центром в точке расположения источника поля и описываются уравнением  r = const.


Рис. 1. Поверхности уровня центрального поля.
     Поле    называется аксиально-симметричным, если функция    зависит только от расстояния  ρ  до некоторой оси. Поверхностями уровня такого поля являются круговые цилиндры, оси которых совпадают с осью симметрии поля  .


Рис. 2. Поверхности уровня аксиально-симметричного поля.

Аксиально-симметричное поле называют также цилиндрическим или осевым.
В цилиндрической системе координат поверхности уровня аксиально-симметричного поля описываются уравнением  ρ = const.
Пример графического изображения плоского скалярного поля представлен на рисунке 3.


Рис. 3. Линии уровня плоского скалярного поля.
Более светлые участки соответствуют областям с большими значенями поля.
(Чтобы увидеть другой способ изображения линий уровня, подведите курсор к рисунку.)