Суммы синусов и косинусов (примеры)

Суммы синусов и косинусов

Примеры

Пример. Вычислить сумму

(1)

Решение. Рассмотрим выражение

(2)

вещественная часть которого равна сумме (1):

(3)

Правая часть равенства (2) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем

. Сумма членов этой прогрессии равна

(4)

Умножим числитель и знаменатель дроби в правой части равенства (4) на

. Тогда знаменатель будет равен

(5)

Преобразуем числитель дроби (4), раскрывая скобки и используя формулу Эйлера:

(6)

Таким образом,

(7)

Следовательно,

(8)

Учитывая, что

(9)

получаем в качестве "вознаграждения" формулу

(10)

Преобразуем разности синусов и косинусов в выражениях (8) и (10):

	.	(11)
	.	(12)

Конев В.В. Комплексные числа