1. Функции одной переменной. Пределы последовательностей.
-
Понятие последовательности. Бесконечно малые величины, их свойства.
-
Бесконечно большие величины, их свойства.
-
Предел последовательности, свойства пределов.
-
Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин.
-
Теоремы о пределах последовательностей.
-
Число e. Второй замечательный предел.
-
Бесконечно малые функции, их свойства.
-
Предел функции, его геометрический смысл. Свойства пределов функций.
-
Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
-
Первый замечательный предел.
-
Основные соотношения эквивалентности бесконечно малых (с обоснованием).
-
Раскрытие неопределенностей различного вида.
-
Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке и на интервале.
-
Классификация точек разрыва. Теоремы о непрерывных функциях.
2. Дифференцирование функции одной переменной.
-
Задачи, приводящие к понятию производной функции. Производная функции. Физический и геометрический смысл производной. Правила дифференцирования функций.
-
Таблица производных простейших элементарных функций.
-
Дифференциал функции, его интерпретация. Свойства дифференциала, инвариантность формы первого дифференциала.
-
Теоремы о дифференцировании обратной и сложной функций. Расширение таблицы производных функций.
-
Применение дифференциала для приближенных вычислений. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявно заданных функций и параметрически заданных функций.
-
Касательная и нормаль к кривой, заданной в различных формах.
-
Теорема Ферма.
-
Теорема Ролля.
-
Теорема Лагранжа.
-
Теорема Коши.
-
Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
-
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0.
-
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ∞/∞.
-
Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 1∞, ∞0, 00.
-
Формула Тейлора для многочленов.
-
Прелставление функций в виде разложений по Формуле Тейлора.
-
Разложение функций ex , sinx , cosx , ln(1+x) , (1+x)m по формуле Тейлора.
-
Применения формулы Тейлора.
-
Исследование функции одной переменной. Симметрия функции. Возрастание и убывание функции на интервале. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции.
-
Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке.
-
Интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки перегиба. Необходимые и достаточное условия существования точки перегиба.
-
Асимптоты функции. Полное исследование функции и построение графиков.
-
Геометрические и физические приложения экстремумов функций.
3. Функции нескольких независимых переменных.
-
Обобщение основных понятий анализа на случай функций нескольких независимых переменных. Область определения функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
-
Частные производные, их геометрический смысл.
-
Дифференциал функции нескольких переменных. Производная сложной функции.
-
Полная и частная производные.
-
Неявные функции и их дифференцирование.
-
Производные и дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала для приближенных вычислений.
-
Геометрический смысл функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
-
Экстремум функции двух переменных, необходимые и достаточные условия. Седловые точки.
-
Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.
|
 |
|
 Электронный учебник: Пределы последовательностей и функций, производные и дифференциалы, неопределенные и определенные интегралы, ... |
Избранные разделы математического анализа. Учебное пособие основано на курсе лекций, читаемых автором для студентов отделения элитного технического образования ТПУ, и включает в себя следующие разделы:
– Формула Тейлора
– Функции нескольких переменных
– Неопределенные интегралы
– Определенные интегралы
– Несобственные интегралы
Наряду с изложением теоретического курса в пособии содержится большое число примеров и графических иллюстраций. |
 |
|