Вопросы по курсу "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (семестр 1)
Часть 1. Комплексные числа.
-
Комплексные числа, их геометрическая интерпретация. Алгебраические операции.
-
Полярная система координат. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Перевод комплексного числа
из алгебраической формы в тригонометрическую.
-
Формула Эйлера. Показательная форма комплексных чисел. Представление тригонометрических функций в
комплексной форме. Применения формулы Эйлера.
-
Комплексные корни.
Часть 2. Линейная алгебра.
-
Матрицы и действия над ними. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.
-
Свойства матричных операций.
-
Перестановки и транспозиции. Инверсии. Теоремы о транспозициях и перестановках.
-
Определители, их свойства.
-
Теорема о разложении определителя по элементам строки.
-
Методы вычисления определителей.
-
Обратная матрица. Решение матричных уравнений.
-
Теорема об обратной матрице.
-
Ранг матрицы, его вычисление.
-
Система линейных алгебраических уравнений. Решение систем уравнений методом Гаусса.
-
Правило Крамера.
-
Обобщенное правило Крамера (теорема Кронекера-Капели).
-
Однородные системы линейных уравнений, их свойства. Фундаментальная система решений.
-
Собственные значения и собственные векторы матрицы.
Часть 3. Векторная алгебра
-
Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами. Модуль вектора, координаты
вектора, проекция вектора на направление, условия параллельности векторов.
-
Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Понятие базиса векторного
пространства, размерность векторного пространства. Декартов базис. Разложение вектора по базису.
-
Скалярное произведение векторов, его свойства. Направляющие косинусы вектора.
-
Векторное произведение векторов, его свойства.
-
Смешанное произведение векторов, его свойства.
-
Преобразование координат вектора при повороте при повороте системы координат вокруг оси z.
Часть 4. Аналитическая геометрия
-
Уравнения плоскости (различные формы). Взаимное расположение плоскостей. Угол между ними, условия
параллельности и перпендикулярности.
-
Расстояние от точки до плоскости.
-
Уравнения прямой (различные формы). Взаимное расположение прямых. Угол между ними, условия их
параллельности и перпендикулярности.
-
Различные формы уравнений прямой, расположенной в плоскости x0y. Расстояние от точки до прямой (в
плоскости x0y). Взаимное расположение прямых.
-
Уравнение эллипса в канонической системе координат.
-
Уравнение гиперболы в канонической системе координат.
-
Уравнение параболы в канонической системе координат.
-
Кривые второго порядка. Основные типы кривых и их канонические уравнения. Приведение уравнений
кривых второго порядка к каноническому виду.
-
Поверхности второго порядка. Канонические уравнения сферы, эллипсоида, конуса и цилиндра.
-
Канонические уравнения гиперболоидов и параболоидов.
|
Вопросы по линейной алгебре, векторной алгебре и аналитической геометрии (файл)
Вопросы по линейной алгебре, векторной алгебре и аналитической геометрии |
 |
|
Типичные задачи по линейной алгебре (семестр 1)
-
Для заданной квадратной матрицы A второго порядка найти матрицу B такую, что
AB = 0.
-
Решить матричное уравнение …, где …
-
Пусть f (x) = … и A = …. Найти f (A).
-
Решить систему уравнений …
-
Решить матричное уравнение XA = B, если …
-
Решить матричное уравнение AX = B, где …
-
Решить систему уравнений … с помощью обратной матрицы.
-
Решить систему уравнений … методом Крамера.
-
Установить при каких значениях параметров … система уравнений … является совместной.
-
Установить при каких значениях параметров … система уравнений … является несовместной.
-
Установить при каких значениях параметров … система уравнений … имеет единственное решение.
-
Определить, при каких значениях параметров … система уравнений … имеет бесконечное множество
решений.
-
Найти ранг матрицы …
-
Вычислить ранг матрицы … методом элементарных преобразований.
-
Система линейных уравнений задана расширенной матрицей. Сколько решений имеет эта система при
различных значениях параметров …?
-
Определить число решений системы уравнений, заданной расширенной матрицей …
-
Определить число линейно независимых решений однородной системы AX = 0, где
A = …
-
Найти общее и частное решения системы уравнений …
-
Найти фундаментальную систему решений уравнения AX = 0, если A = ….
-
Найти собственные значения и соответствующие им собственные векторы матрицы A.
|
|
 lin_alg.pdf
Образцы экзаменационных билетов по линейной алгебре и аналитической геометрии (первый семестр 2009-2100 уч. года. 1-ый курс ЭТО). |
|
|
Расписание
