Градиент скалярного поля

| Разделы курса | Словарь | Калькулятор | Тесты |
Упражнения 5-12.
    • Какой смысл имеет величина градиента скалярного поля?
    • Как можно формально обосновать справедливость приведенного утверждения?
    • Постарайтесь привести пример скалярного поля, градиент которого равен нулю. Какой физический смысл имеет такое поле?

    • Чему равна производная суммы?
    • Чему равна производная от константы?
    • Воспользуйтесь правилом дифференцирования суммы двух функций и перегруппируйте слагаемые.

    • Чему равна производная от произведения двух функций?
    • Воспользуйтесь правилом дифференцирования произведения двух функций и перегруппируйте слагаемые.

    • Радиус-вектором точки является вектор r = i x + j y + k z, проведенный из начала координат в эту точку.
    • Запишите выражение для величины радиус-вектора  r.
    • Является ли правильным утверждение, что
    • Чему равны частные производные от  r  по переменным y и z?

    Ответ:

    • Чему равен скалярный квадрат радиус-вектора  r?
    • Является ли правильным утверждение, что

    Ответ:

    • Найдите градиент скалярного поля  φ  в произвольной точке.
    • Вычислите градиент в заданной точке.
    • Найдите модуль полученного вектора.

    • В какой точке следует выбрать начало прямоугольной системы координат, чтобы расстояние от произвольной точки до заряда совпадало с величиной радиус-вектора этой точки?
    • Как найти градиент функции учитывая, что  kq  является постоянным множителем?

    9. Ответ:

  1. Доказать, что
    где  C  – константа.

  2. Доказать, что
    если  C  – константа.

  3. Доказать, что

  4. Доказать, что

  5. Вычислить градиент скалярного поля  φ = r, где r – величина радиус-вектора произвольной точки .

  6. Вычислить градиент скалярного поля где r – величина радиус-вектора произвольной точки .

  7. Вычислить градиент скалярного поля в точке и быстроту изменения функции  φ  в этой точке.

  8. Потенциал  φ  точечного заряда  q  описывается формулой
    где  r  – расстояние от заряда;  k  – константа.
    Найти напряженность электрического поля создаваемого этим точечным зарядом.
Справка по теме: Линии и поверхности уровня скалярного поля.   Справка по теме: Векторные линии поля.