Ряды
-
Числовые ряды
-
Числовые ряды, их свойства. Необходимое условие сходимости. Гармонический ряд. Обобщенный гармонический ряд.
-
Знакоположительные ряды. Признаки сравнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши, интегральный признак сходимости.
-
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся числовых рядов. Теорема Римана. Теорема Лейбница. Оценка остатка ряда.
-
Функциональные ряды
-
Понятие функционального ряды. Область сходимости и сумма функционального ряда. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.
-
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости. Свойства степенных рядов.
-
Ряд Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Применение степенных рядов.
-
Ряды и интегралы Фурье
-
Обобщенные ряды Фурье: основные понятия. Нормировка и ортогональность функций. Ряд Фурье и коэффициенты Фурье. Равенство Парсеваля. Бесконечномерное векторное пространство. Дельта-функция Дирака, ее представления. Условие полноты системы функций.
-
Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье в тригонометрической форме.
-
Разложение в ряд Фурье четной и нечетной функций. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом. Ряды Фурье для функций, заданных на конечном промежутке.
-
Представление функции интегралом Фурье. Преобразование Фурье.
Теория функций комплексного переменного
-
Введение в комплексный анализ
-
Кривые и области. Предел последовательности. Предел функции.
-
Числовые и Функциональные ряды с комплексными членами. Равномерная сходимость. Степенные ряды. Теорема Абеля.
-
Элементарные функции комплексного переменного и их свойства. Отображения.
-
Дифференцирование и интегрирование функций комплексного переменного
-
Производная функции комплексной переменной и ее геометрический смысл. Условия Коши - Римана. Понятие и свойства аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее вещественной или мнимой части. Гармонические функции.
-
Интеграл по комплексной переменной и его свойства. Интегрирование аналитических функций. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.
-
Ряды Тейлора и ряды Лорана
-
Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Правильная и главная части. Кольцо сходимости ряда Лорана.
-
Особые точки и их классификация. Логарифмическая производная. Принцип аргумента. Основная теорема алгебры.
-
Вычеты и их приложения
-
Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычеты в простых и кратных полюсах. Вычеты в существенно особой и бесконечно удаленной точках. Основная теорема теории вычетов.
-
Применение теории вычетов для вычисления контурных интегралов от функции комплексной переменной. Разрезы в комплексной плоскости. Использование вычетов для нахождения определенных и несобственных интегралов функции вещественной переменной.
-
Конформные отображения
-
Понятие конформного отображения. Конформные отображения, задаваемые аналитическими функциями.
-
Конформные отображения посредством линейной функции, дробно-рациональной функции, функции Жуковского, показательной функции, тригонометрических и гиперболических функций.
|
Расписание
