Содержание разделов курса
-
Определенный интеграл
-
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Теорема о среднем. Оценка интеграла.
-
Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона - Лейбница.
-
Методы вычисления определенных интегралов.
-
Приложения определенных интегралов в геометрии и физике. Площадь плоской фигуры в прямоугольных и полярных координатах.
-
Вычисление объема по площади поперечного сечения, объем тела вращения. Вычисление длины дуги кривой в прямоугольных и полярных координатах. Вычисление площади поверхности вращения.
-
Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра
-
Несобственные интегралы Признаки сходимости.
-
Абсолютная и условная сходимости. Эталонные интегралы. Интегралы в смысле главного значения.
-
Интегралы, зависящие от параметра. Интегрирование и дифференцирование интеграла по параметру.
-
Эйлеровы интегралы I-го рода (Бета-функция). Эйлеровы интегралы II-го рода (Гамма-функция).
-
Интегральное исчисление функции нескольких переменных
-
Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла. Двойной интеграл, его свойства. Вычисление двойного интеграла, его геометрический и физический смыслы. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования.
-
Геометрический и физический смысл. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования.
-
Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан перехода. Двойной интеграл в полярной и обобщенной полярной системах координат. Двойной интеграл в произвольной криволинейной системе координатах.
-
Тройной интеграл. Понятие, свойства. Замена переменных в тройном интеграле.
-
Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
-
Криволинейные интегралы 1-го рода. Свойства и вычисление криволинейных интегралов. Геометрические и физические приложения криволинейных интегралов.
-
Поверхностные интегралы 1-го рода. Свойства и вычисление поверхностных интегралов. Геометрические и физические приложения поверхностных интегралов.
-
Криволинейный интеграл 2-го рода. Определение, свойства, геометрический смысл. Сведение к определенному интегралу. Задача о работе силового поля по криволинейной траектории.
-
Формула Грина. условие независимости криволинейных интегралов 2-го рода от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу. Физические приложения криволинейных интегралов 2-го рода.
-
Поверхностные интегралы II-го рода. Определение, свойства, вычисление. Ориентированные поверхности.
-
Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса.
-
Элементы теории поля
-
Скалярные поля. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его физический смысл. Производная по направлению вектора.
-
Векторные поля. Векторные линии. Поток, дивергенция, циркуляция, ротор, их гидродинамический смысл.
-
Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса в векторной форме, их смысл.
-
Простейшие векторные поля. Потенциальное поле, свойства, нахождение потенциала. Соленоидальное поле, его свойства, понятие векторной трубки.
-
Гармоническое поле, его свойства. Гармоническая функция. Векторные дифференциальные операции 1-го и 2-го порядка. Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа.
-
Дифференциальные векторные операции первого и второго порядка в криволинейных координатах.
|
Расписание
