Конев В.В.   Несобственные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы |
Интегралы первого рода в смысле главного значения
        Рассмотрим несобственный интеграл по бесконечному промежутку  , не содержащий особенностей внутри этого промежутка. По определению
   (1)  
где предельные переходы    и    выполняются независимо один от другого.

      Если такой двойной предел не существует, но существует предел, когда  A  и  B  удовлетворяют требованию  A = –B, то этот предел называется главным значением несобственного интеграла :
   (2)  
  1. Пусть функция  f(x)  является нечетной. Тогда интеграл от этой функции в симметричных пределах равен нулю:
       (3)  
    Следовательно, равен нулю и интеграл в смысле главного значения:
       (4)  
    В частности, несобственный интеграл не существует, тогда как соответствующий интеграл в смысле главного значения равен нулю:
       (5)  

  2. Если функция  f(x)  является четной, то интеграл от этой функции в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку:
       (6)  
    Тогда
       (7)  
    Таким образом, в случае четной функции  f(–x) = f(x)  интеграл   в смысле главного значения существует лишь одновременно с несобственным интегралом .


  3. Пусть  f(x)  – произвольная функция. Тогда ее можно представить в виде суммы четной и нечетной функций:
       (8)  
       (9)  
       (10)  
    Если функция  f(x)  интегрируема в любом конечном промежутке, то таковыми являются и функции    и  . Тогда
       (11)  
    если интеграл  .
    Например, функция    может быть представлена в виде следующей суммы четной и нечетной функций:
       (12)  
    Следовательно,
       (13)