Конев В.В.   Несобственные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы |
Эталонные p-интегралы первого рода
        При исследования несобственных интегралов вида на сходимость с помощью признаков сравнения используются различные эталонные интегралы, важную роль среди которых играют  p-интегралы
   (1)  
где  A > 0.

      Область значений параметра  p, в которой  p-интеграл (1) сходятся, легко устанавливается непосредственным интегрированием.
  1. При  p = 1  интеграл (1) расходятся:
    Тогда этот интеграл расходятся и при  p < 1, поскольку с уменьшением  p  подынтегральная функция возрастает в окрестности бесконечно удаленной точки  x = +∞.


  2. Если  p > 1, то
      Таким образом,  p-интеграл (1) сходится при  p > 1  и расходится при  p ≤ 1.

      Проблема исследования на сходимость несобственных интегралов вида легко разрешается, если при  x → ∞  функция  f(x)  является бесконечно малой порядка  p  по сравнению с  . Тогда при  p > 1  интеграл от  f(x)  сходится, а при  p ≤ 1  - расходится.
      Например, функция
при  x → ∞  является бесконечно малой порядка  11/7  по сравнению с    и, следовательно, интеграл сходится.

      Аналогично, интеграл расходится, поскольку функция    является бесконечно малой порядка  4/7  по сравнению с    (при  x → ∞).