Интеграл Эйлера и связанные с ним интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |

| Пределы | Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы |

Интеграл Эйлера и связанные с ним интегралы

Несобственные интегралы

Основные понятия Несобственные интегралы первого рода Признаки сравнения Эталонные p-интегралы первого рода Признаки сходимости Абеля и Дирихле Абсолютная и условная сходимости Интегралы от неограниченных функций Признаки сравнения интегралов от неограниченных функций P–интегралы от неограниченных функций Некоторые приемы исследования интегралов на сходимость Интеграл Эйлера и связанные с ним интегралы Вычисление несобственных интегралов Главное значение интеграла Интегралы первого рода в смысле главного значения Обобщенные значения интегралов

Вычислить интеграл Эйлера
Сходимость этого интеграла установлена ранее (см. раздел "Некоторые приемы исследования интегралов на сходимость"). Однако мы повторно рассмотрим проблему сходимости интеграла Эйлера, взяв за основу признак сходимости. Представим интеграл Эйлера в виде

(1)

Однако

Тогда интеграл в правой части уравнения (1) сходится, поскольку сходится интеграл .
Для вычисления интеграла Эйлера используем подстановку x = 2t :

(2)

Преобразуем последний интеграл, выполнив замену переменной

(3)

Комбинируя два последних члена в равенстве (2), получаем

(4)

Подстановка полученных результатов в равенство (2) приводит к следующему линейному уравнению для искомого интеграла I :

(5)

Таким образом,

(6)

Чтобы вычислить интеграл

выполним интегрирование по частям. Выбирая

получаем

(7)

Первый член в правой части этого равенства обращается в нуль при подстановке пределов (см. "Некоторые приемы исследования интегралов на сходимость") и, следовательно,

(8)
Такой же результат получается для интеграла
Действительно, выполним подстановку Тогда

(9)
Рассмотрим интеграл Выполним интегрирование по частям, выбирая

Тогда

(10)

Подведем итоги:

		(11)
		(12)
		(13)
		(14)