Уравнение Эйлера допускает обобщение на случай функционалов вида
| |
 ,
|
(1) |
|
зависящих от нескольких переменных
y1, ..., yn , каждая из которых
является функцией переменной x.
Выражение для вариации функционалов такого типа получено в разделе "Вариация функционала, зависящего от нескольких функций",
формула (5):
| |
|
(2) |
|
Следуя процедуре, использованной при выводе уравнения Эйлера, равенство (2) можно представить в виде
| |
|
(3) |
|
Приравнивая к нулю вариацию функционала  и учитывая независимость вариаций
δyk , получаем систему уравнений Эйлера:
| |
|
(4) |
|
где k = 1, ..., n.
|
