Конев В.В.   Определенные интегралы

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Пределы | Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Несобственные интегралы |
Площадь плоской области (примеры)
Пример 1.  Найти площадь области, заключенной между линиями  y = 3x  и .

Решение. Абсциссы точек пересечения заданных линий являются пределами интегрирования и представляют собой решения уравнения :

x1 = 0,     и     x2 = 3.

Тогда
***
Пример 2.  Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции .



Рис. 1. Деления на окружности соответствуют значениям полярной координаты . Деления на вертикальной линии – значениям полярной координаты  r.

Решение.




***
Пример 3.  Найти площадь фигуры, ограниченной осью  0x  и одной аркой циклоиды


            .

Рис. 2. Первая арка циклоиды. Циклоида представляет собой линию, которую описывает точка на ободе катящегося без проскальзывания колеса.

Решение.  Представим интеграл в терминах переменной  t.
Учитывая, что  x(0)=0,   и  , получаем
***
Пример 4.  Найти площадь круга радиуса  R.

.

Рис. 3. Окружность радиуса  R

Решение.  Уравнение окружности принимает наиболее простой вид при переходе к полярной системе координат:  r = R.
Тогда

***
Пример 5.  Найти площадь эллипса с полуосями  a  и  b.



Рис. 4. Эллипс с полуосями  a  и  b.

Решение.  Представим уравнение эллипса в параметрическом виде:


Найдем пределы интегрирования:
      x = – a  при ;
      x = a  при  t = 0.

Учитывая, что  dx =   и меняя местами пределы интегрирования, вычисляем площадь:


***
Пример 6.  Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой и осью ординат.



Рис. 5. Область, ограниченная параболой и осью ординат.

Решение.  Поскольку переменные  x  и  y  поменялись ролями, то площадь вычисляется по формуле

где    и   – точки пересечения параболы с осью ординат.

Таким образом,