Уравнения Лагранжа   
       Обратимяся к проблеме описания движения частиц в классической механике.

       Рассмотрим функционал вида
  .  (1)  
       Выберем в качестве независимой переменной время  t, функции  yk  и  y'k  будем интерпретировать соответственно как координаты    и скорости    частиц, а функцию  F  – как Лагранжиан  L  системы (разность между кинетической и потенциальной энергией системы частиц).

       В результате функционал  J  принимает вид
   (2)  
       и называется действием.

       Согласно принципу Гамильтона (другое название которого – принцип наименьшего действия), движение системы с момента времени  t1  до момента  t2  происходит таким образом, что действие  S  принимает наименьшее значение (экстремальное значение).

       Ранее было показано (см. Обобщение уравнения Эйлера), что задача о нахождении экстремали, на которой функционал (1) достигает своего наибольшего или наименьшего значения (в классе функций с фиксированными границами), может быть сформулирована в виде системы уравнений Эйлера:

        (k = 1, ..., n)  (3)  

       Применительно к функционалу (2) эти уравнения записываются в виде

        (k = 1, ..., n)  (4)  

       и называются уравнениями Лагранжа.

       В декартовых координатах частные производные    представляют собой компоненты вектора импульса  p, а частные производные    являются компонентами вектора силы  F. Таким образом, уравнения Лагранжа устанавливают равенство между производной от импульса системы тел и внешней силой, что выражает суть второго закона Ньютона.

       Уравнения Лагранжа обладают рядом преимуществ по сравнению с уравнениями движения Ньютона при описании сложных систем частиц. В частности, формулировка второго закона Ньютона включает в себя результирующую внешнюю силу, то есть сумму векторных величин, тогда как уравнения Лагранжа оперируют со скалярными величинами.
       Кроме того, принцип Гамильтона находит плодотворное применение и в других областях физики, например, в квантовой механике и электродинамике.
       Наконец, координаты    понимаются в широком смысле – как обобщенные координаты  q1,  q2, ...,  qn, в частности, как цилиндрические или сферические координаты частиц. В терминах обобщенных координат  q1,  q2, ...,  qn  и обобщенных скоростей    уравнения Лагранжа имеют вид

        (k = 1, ..., n)  (5)