Ранее доказанная Теорема 1 может быть использована для доказательства закона сохранения энергии в механике.

Рассмотрим механическую систему из n материальных точек с массами   и координатами

(1)

в момент времени t.

Обозначим

Пусть T – кинетическая энергия системы, U – потенциальная энергия и  – её функция Лагранжа, то есть

(2)

(3)

(4)

Теорема 2. Если функция Лагранжа   системы из n материальных точек не зависит явно от t, то её полная энергия не изменяется во времени, то есть

T + U = const.

Доказательство. Согласно принципу наименьшего действия реальное движение системы происходит таким образом, что координаты частиц (1) доставляют минимум функционалу действия

и удовлетворяют системе уравнений Лагранжа:

Поскольку функция Лагранжа  L  не зависит явно от  t, то согласно Теореме 1, первым интегралом является функция

Учитывая, что

и используя (2)-(4), получаем

Таким образом,

H = T + U = const.

Теорема 2 доказана и установлено, что если механическая система консервативна, то есть её потенциальная энергия не зависит явно от времени  t, то её полная энергия (функция Гамильтона) остается постоянной во времени.

Рис. 1. Преобразование механической энергии из одной формы в другую.
При этом сумма потенциальной энергии шара, его кинетической энергии и упругой энергии пружины остается неизменной.