Определение. Пусть  – экстремаль функционала , то есть   удовлетворяет системе уравнений Эйлера

Функция  называется первым интегралом системы уравнений Эйлера, если

(1)

то есть функция  сохраняет постоянное значение на любом решении системы уравнений Эйлера.

Пример первого интеграла дает следующая теорема.

Теорема 1. Если функция F не зависит явно от x, то её первым интегралом является функция Гамильтона H, определяемая равенством

(2)

Доказательство. Используя семейство преобразований    и учитывая Предложение 1,

Предложение 1: Пусть семейство преобразований  задается равенством и функция  не зависит явно от х. Тогда функционал инвариантен относительно семейства преобразований .

Если  – экстремаль, то есть является решением системы уравнений Эйлера, то

Далее имеем

Используя эти равенства, получаем

В силу произвольности выбора точек  и   отсюда следует, что

(3)

Теорема доказана.