Ранг матрицы  

      Говорят, что ранг матрицы A размера  m×n  равен  r, если существует хотя бы одна несингулярная подматрица  r-го порядка, тогда как любая подматрица более высокого порядка является сингулярной.

      Если это определение озвучить в терминах определителей, то оно будет выглядеть примерно так:

      Матрица  A  размера  m×n  имеет ранг  r, если существует хотя бы один отличный от нуля определитель  r-го порядка, тогда как определитель любой подматрицы более высокого порядка равен нулю.

          Очевидно, что

      Для вычисления ранга матрицы можно использовать метод элементарных преобразований строк и столбцов – в точности тот самый метод, который применяется для вычисления определителей. Будет уместным напомнить основные операции метода:
  1. Перестановка строк или столбцов.
  2. Умножение строки или столбца на ненулевое число.
  3. Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число.
  4. Нулевая строка или столбец вычеркивается.

     Целью элементарных преобразований является приведение матрицы к ступенчатой форме, т.е. к квазитреугольному виду - типа того, что представлено ниже:

  .  (1)  

      Очевидно, что определитель третьего порядка, составленный из элементов первых трех строк и столбцов, отличен от нуля, и ранг матрицы равен 3:

      Отметим, что любая матрица может быть представлена посредством эквивалентных преобразований (в смысле неизменности ее ранга) к блочному виду

   (2)  

где E - единичная матрица.

      Например, для преобразования матрицы (1) к такому виду достаточно прибавить ко второму, третьему и пятому столбцам первый столбец с соответствующим образом подобранными коээффициентами, что приведет нас к матрице

      Фактически, результаты этих преобразований чрезвычайно просты: во всех позициях первой строки - кроме первой - элементы превратились в нулевые.

      Прибавляя затем второй столбец к третьему, четвертому и пятому - с соответствующим образом подобранными коээффициентами, получим

     

      Далее поделим каждую строку на соответствующий коэффициент и удалим нулевые столбцы:

  .  (3)  

      Рассматриваемая матрица приведена к вышеуказанному виду.