Преобразования матрицы, не изменяющие ее ранг

Преобразования матрицы, не изменяющие ее ранг

Основные ориентиры метода элементарных преобразований при вычислении ранга матрицы:

Обратить в нуль все элементы строки (или столбца) матрицы и при этом не изменить нулевые элементы, которые были получены при всех предыдущих преобразованиях.

Преобразовать матрицу к блочному виду

Рассмотрим следующие элементарные преобразования матриц:

Перестановка строк или столбцов.
Умножение строки или столбца на ненулевое число.
Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число.

Теорема. Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что в результате элементарных преобразований нулевой определитель остается нулевым, а ненулевой – ненулевым.

Перестановка строк или столбцов матрицы изменяет только знак определителя.
При умножении строки (столбца) матрицы на ненулевое число определитель умножается на это число.
Определитель не изменяется, если к строке (столбцу) прибавляется другая строка (столбец).

Таким образом, в результате элементарных преобразований сингулярные матрицы остаются сингулярными, а несингулярные – несингулярными.