Конев В.В.   Пределы последовательностей и функций

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Сравнение бесконечно больших
        Пусть и – бесконечно большие функции при  x → a. Рассмотрим возможные значения предела отношения этих функций:
Если  , то функции и называются бесконечно большими одного и того же порядка.

      Функции и называются эквивалентными бесконечно большими при  x → a, если  λ = 1. Для записи эквивалентности функций используется обозначение вида
      Функция называется бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с при  x → a, если  λ = ∞; при этом говорят, что имеет меньший порядок роста.

      Если и    представляют собой бесконечно большие функции одного и того же порядка, то функция называется бесконечно большой n-го порядка по сравнению с . Например, функция    является бесконечно большой 4-го порядка по сравнению с    при  x → ∞.

      Если  λ = 0, то бесконечно большие функции и меняются своими ролями. В этом случае функция является бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с при  x → a.

Свойства эквивалентных бесконечно больших функций.
  1. Если и – эквивалентные бесконечно большие функции при  x → a, то их разность имеет меньший порядок роста.
    Действительно,

  2. Если и – бесконечно большие функции одного и того же порядка при  x → a, то и    являются эквивалентными бесконечно большими функциями:
    Иначе говоря, бесконечно большие функции и асимптотически пропорциональны при  x → a.


  3. Если бесконечно малая имеет меньший порядок роста по сравнению с при  x → a, то
      
    В таких случаях говорят, что – пренебрежимо малая величина по сравнению с .