Элементарные преобразования матриц  
      Элементарные матрицы перестановок и масштабирования, а также элементарная неунитарная матрица называются элементарными матрицами.

      Последовательное умножение любой такой матрицы на заданную матрицу A слева (справа) называется левосторонним (правосторонним) элементарным преобразованием матрицы A.

      Алгоритмы решения целого ряда задач включают в себя (в качестве составных элементов) элементарные преобразования матриц, к числу которых относятся:
  1. умножение строки или столбца матрицы на ненулевое число;
  2. перестановка местами двух строк или столбцов матрицы;
  3. прибавление к некоторой строке матрицы другой ее строки, предварительно умноженной на произвольный коэффициент;
  4. прибавление к некоторому столбцу матрицы другого ее столбца, предварительно умноженного на произвольный коэффициент.
      Любое элементарное преобразование может быть реализовано умножением данной матрицы (слева или справа) на соответствующую элементарную матрицу.
  1. Пусть  Ri (λ) – матрица масштабирования (полученная из единичной матрицы соответствующего порядка заменой единицы в i-ой строке числом  λ):

       (1)  

    Тогда результатом умножения слева матрицы  Ri (λ) на матрицу

       (2)  

    является матрица, полученная из исходной матрицы  A  умножением ее  i-ой строки на число  λ:

       (3)  

    Например,
       (4)  

    Аналогично, чтобы умножить i-ый столбец матрицы  A  на число  λ, достаточно умножить матрицу  Ti  справа на матрицу  A. В частности,
       (5)  

  2. Пусть  Pi j – матрица перестановок (полученная из единичной матрицы соответствующего порядка перестановкой  i-ой и  j-ой строк):
       (6)  
    Тогда результатом умножения слева матрицы  Pi j  на матрицу
       (7)  
    является матрица, полученная из исходной матрицы  A  перестановкой местами ее  i-ой и  j-ой строк:

       (8)  

    Например,
     

    		 (9)  

    Умножение матрицы  Pi j  справа на матрицу
       (10)  
    приводит к матрице
       (11)  
    полученной перестановкой местами i-го и j-го столбцов матрицы  A.


  3. Чтобы прибавить к  i-ой строке матрицы A ее  j-ую строку, умноженную на число λ, достаточно умножить матрицу A справа на элементарную неунитарную матрицу .


  4. Чтобы прибавить к  i-му столбцу матрицы A ее  j-ый столбец, умноженный на число λ, достаточно умножить матрицу A слева на элементарную неунитарную матрицу .