Матрица перестановок  
      Если в единичной матрице изменить порядок расположения строк, то полученная матрица называется матрицей перестановок. Иначе говоря, квадратная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой только один элемент отличен от нуля и равен единице, называется матрицей перестановок.

      Непосредственным вычислением легко проверяются следующие свойства матрицы перестановок.
  1. Умножение слева матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке строк матрицы A.
  2. Умножение справа матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке столбцов матрицы A.
      Пусть, например, пятой строкой матрицы перестановок является строка вида (0, 1, 0, 0, ..., 0). Тогда результатом умножения этой строки на столбцы прямоугольной матрицы  A = || ai j ||  является вторая строка (a21 a22 a23 ...) матрицы A, которая располагается в позиции пятой строки результитрующей матрицы.

      Таким образом, если в  i-ой строке матрицы перестановок P единица расположена в  j-ом столбце, то умножение матрицы P слева на матрицу A приводит к перемещению  j-ой строки матрицы A в позицию  i-ой строки.

      Аналогично, если в  i-ом столбце матрицы перестановок P единица расположена в  j-ой строке, то умножение матрицы P справа на матрицу A приводит к перемещению  j-го столбца матрицы A в позицию  i-го столбца.

      Если матрицы перестановок P получена из единичной матрицы E перестановкой местами двуз строк (или двух столбцов), то такая матрица называется элементарной матрицей перестановок.
      При умножение слева элементарной матрицы перестановок на матрицу A происходит перестановка соответствующих строк матрицы A.
      Умножение справа элементарной матрицы перестановок на матрицу A приводит к перестановке соответствующих столбцов матрицы A.

      Для любой матрицы перестановок P справедливы следующие свойства:

где - транспонированная матрица перестановок; E - единичная матрица.

      Действительно,



где - дельта-символ Кронекера.

      Терема 1. Произведение матриц перестановок одного и того же порядка есть матрица перестановок.

      Терема 2. Матрица перестановок  n-го порядка может быть представлена в виде произведения (n - 1) элементарных матриц перестановок.

      Терема 3. Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица.

      Доказательство этих утверждений предоставляется читателю.