МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

	УТВЕРЖДАЮ
Проректор–директор ИПР
_______________ А.Ю. Дмитриев

	«____»_____________2011 г.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Методические указания и индивидуальные задания 
для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям
131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геология»,
130102 «Технология геологической разведки»,
022000 «Экология и природопользование»

Составители С.В. Рожкова, В.И. Рожкова, Г.М. Матвеенко

Семестр	1	
Кредиты	4	
Лекции, часов	10	
Практические занятия, часов	10	
Индивидуальные задания	2	
Самостоятельная работа, часов	88	
Формы контроля	зачет	

Издательство
Томского политехнического университета
2011

УДК 517
ББК  

Линейная алгебра и аналитическая геометрия: методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело», 130101 «Прикладная геология»,130102 «Технология геологической разведки», 022000 «Экология и природопользование» / сост. С.В. Рожкова, В.И. Рожкова, Г.М. Матвеенко; Томский политехнический университет.– Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011.– с.

Методические указания и индивидуальные задания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры высшей математики ФТИ «____» ______2011 года, протокол № ___.

Зав. кафедрой ВМ,
профессор, доктор физ.-мат. наук _________________К.П. Арефьев

Рецензент

Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры ВМ ФТИ
Э.М. Кондакова

© Составление.ГОУ ВПО НИ ТПУ, 2011
© Рожкова С.В., Рожкова В.И.,
Матвеенко Г.М, составление, 2011
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2011

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Ниже приводятся темы 1-го семестра дисциплины «Линеиная алгебра и аналитическая геометрия».

1. 	Линейная алгебра.
2. 	Векторная алгебра.
3. 	Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

Изучение курса математики для студентов преследует следующие цели:
1.	познакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач;
2.	создание отношения к математике как к инструменту исследования и решения прикладных задач; эта цель достигается выработкой у студентов понимания сущности математической модели и умение моделировать некоторые наиболее доступные объекты, процессы и явления;
3.	развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры, выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.
2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ
2.1. Элементы линейной алгебры
1.	Определители 2-го, 3-го, -го порядков, их свойства. Методы вычисления.
2.	Матрицы, их виды. Операции над матрицами. Ранг матрицы. 
3.	Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса.
2.2. Векторная алгебра
1.	Векторы. Линейные операции над векторами. Понятие линейной зависимости и независимости. Системы координат (аффинная, декартова, полярная).
2.	Скалярное произведение двух векторов, его свойства. Длина вектора, угол между векторами, условие перпендикулярности. Проекция вектора на вектор.
3.	Векторное произведение двух векторов, его свойства. Задачи о вычислении площадей треугольника и параллелограмма. Условие параллельности векторов.
4.	Смешенное произведение трех векторов, его свойства. Условие компланарности векторов. Вычисление объемов пирамиды и параллелепипеда.
2.3. Аналитическая геометрия
1.	Прямая линия на плоскости и в пространстве. Плоскость, исследование уравнения и построение в системе координат. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
2.	Кривые второго порядка: парабола, эллипс, гипербола. Кривые в полярной системе координат.

3. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ
3.1. Тематика практических занятий
1.	Элементы линейной алгебры. Методы решения систем линейных уравнений (правило Крамера, метод Гаусса). Схема решения произвольной системы линейных уравнений.
2.	Элементы векторной алгебры. Понятие вектора, линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов, его свойства. Векторное и смешанное произведения векторов .
3.	Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. 
4. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
4.1. Общие методические указания
Студент выполняет вариант, совпадающий с двумя последними цифрами его учебного шифра. Например, согласно шифру 5311/12, студент выполняет вариант № 12. Если последние цифры шифра превосходят число 20, следует вычесть число, кратное 20. Например, 5311/26, соответствует вариант № 6, полученного при вычитании  или шифру 5311/53 соответствует № 13 .
	При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:
1.	Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной (ученической) тетради, на внешней обложке указать фамилию, имя, отчество, полный шифр, номер контрольной работы.
2.	Работа выполняется чернилами (не красными) с полями для замечаний рецензента.
3.	Решения задач должны быть подробными, без сокращения слов. Перед решением каждой задачи должно присутствовать ее условие.
4.	Задачи располагать в порядке номеров, указанных в задании, не меняя этих номеров.

4.4. Методические указания к выполнению контрольной работы № 2
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Понятие вектора. Линейные операции над векторами

	Геометрическим вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор двумя большими латинскими буквами с общей чертой  (начало вектора, конец вектора) или одной малой  (см. рис.)

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону. Число, равное длине вектора, называется его модулем. 
Если заданы декартовы координаты вектора , то модуль вектора , обозначаемый символом , вычисляется по формуле: .
Если заданы две точки в декартовой системе координат  и , где начало вектора, конец вектора, то координаты вектора  вычисляются по формулам .
Операции алгебраического сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.
1. 	Если , , то координаты вектора  вычисляются по формулам .
2. 	Если  и действительное число, то координаты вектора  вычисляются по формулам .

Пример. Даны два вектора  и . 
Вычислить а) ; б) .
	Решение.
а) ;

Скалярное произведение векторов, его свойства
	Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов  и  обозначается  или  .
	Обозначим через  угол между векторами  и . Тогда скалярное произведение выражается формулой 
.
Если векторы  и  заданы декартовыми координатами , , то скалярное произведение вычисляется по формуле
.
Скалярное произведение векторов  и  равно нулю () тогда и только тогда, когда векторы  и  перпендикулярны. В частности , если  или .
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1. 
2. , где константа;
3. .
	С помощью скалярного произведения можно вычислить:
1. 	Модуль вектора : . Эта формула справедлива для любой системы координат. В частности, в декартовой системе координат данная формула примет вид , где .
2. 	Косинус угла между векторами  и  
.
3. 	Проекцию вектора  на вектор 
.

Пример. Векторы  и  взаимно перпендикулярны и , . Найти .

Решение.
.

Пример. Вычислить косинус угла, образованного векторами  и .

Решение.
Воспользуемся формулой .
;

Векторное произведение векторов	
	Векторным произведением вектора  на вектор  называется вектор , обозначаемый символом  (или ) и определяемый тремя правилами:
1.	, где угол между векторами и ;
2.	вектор  перпендикулярен к каждому из векторов  и ;

3.	вектор   ориентирован так, что если смотреть с его конца на плоскость векторов  и , то кратчайший поворот от  к  происходит против часовой стрелки (см. рис.)

Алгебраические свойства векторного произведения:
1)	;
2)	, где вещественное число;
3)	.
Геометрические свойства векторного произведения:
1)	модуль векторного произведения  равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и ;
2)	если , , то  тогда и только тогда, когда  и  параллельные векторы;
3)	если векторы  и  заданы декартовыми координатами , , то векторное произведение  на  вычисляется по формуле
.

Пример. Даны точки , , . Вычислить площадь треугольника .
Решение.

, 

Вычислим :

.
Тогда  (кв.ед.).

Смешанное произведение трех векторов	
	Смешанным произведением трех векторов ,  и  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор . Принято обозначение смешанного произведения трех векторов  (или ).
	Геометрические свойства смешанного произведения:
1	модуль смешанного произведения  равен объему параллелепипеда, построенного на векторах ,  и ;
2	векторы ,  и  лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда .
Если векторы  ,  и  заданы декартовыми координатами: , , , то смешанное произведение вычисляется по формуле
.

Пример. Даны вершины тетраэдра , , , . Найти длину высоты, опущенную из вершины .

Решение.

.
Тогда  
Откуда получим . Вычислим  (см. предыдущий пример).

Тогда 

Кривые второго порядка

	В декартовой системе координат общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
   			  (2)
где не все коэффициенты ,  и  одновременно равны нулю. Если , то уравнение  определяет прямую линию.
	В декартовой системе координат уравнение (2) примет один из следующих видов:
1)	каноническое уравнение окружности с центром в точке  и радиусом ;
2)	 каноническое уравнение эллипса с центром в точке  и полуосями  и ;
3)	 канонические уравнения гиперболы:
	а)  каноническое уравнение гиперболы с центром в точке , действительной полуосью  и мнимой полуосью ;
б)  каноническое уравнение гиперболы с центром в точке , действительной полуосью  и мнимой полуосью ;
4)	 канонические уравнения параболы:
	а)  каноническое уравнение параболы с вершиной в точке  и осью симметрии, параллельной оси .
б)  каноническое уравнение параболы с вершиной в точке  и осью симметрии, параллельной оси .
Используя каноническое уравнение кривой, легко построить график данной линии в декартовой системе координат.

Пример. Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду. Определить вид кривой и построить ее график.

а) 

.
Разделим обе части уравнения на 144: . Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке , действительной полуосью  и мнимой полуосью . Сделаем схематический чертеж.

б)    
  
   парабола с вершиной в точке  и осью симметрии, параллельной оси . 

	в) .
Преобразуем это уравнение, возведя обе части в квадрат
,   ,   ,   .
Последнее уравнение определяет эллипс с центром в точке  и полуосями , . Если решить данное уравнение относительно , получим 
,    .

В условии задачи дано второе из этих уравнений. Оно определяет не весь эллипс, а только ту его часть, для точек которой , т.е. половину эллипса, расположенную ниже оси .

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ. 
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ

	Всякое уравнение первой степени относительно  и , т. е. уравнение вида 
,                                                 (6)
где ,  и  - постоянные коэффициенты, причем , определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.
	Если в общем уравнении прямой , то разрешив его относительно , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом 
,                                                    (7)
где  - тангенс угла, образованного прямой с положительным направлением оси ;  - ордината точки пересечения прямой с осью .
	Уравнение                                                                     (8)
является уравнением прямой, которая проходит через точку  и имеет угловой коэффициент .
	Если в общем уравнении прямой , то, разделив все члены на , получим уравнение прямой «в отрезках»
,                                                 (9)
где ,  – величины направленных отрезков, отсекаемых прямой на осях координат  и , соответственно.
	Уравнение 
,					 (10)
является уравнением прямой, проходящей через две точки  и .
	Обозначим ,  координаты направляющего вектора прямой , тогда (10) примет вид
,                                       (11)
где  – точка на прямой. Уравнение (11) называется каноническим уравнением прямой. Введя параметр , из (10) получим параметрические уравнения прямой 
 где                                   (12)
	Уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно вектору , имеет вид
.                                   (13)
Вектор  – называется нормальным вектором прямой. Раскрывая в (13) скобки, получим общее уравнение прямой 
.
Таким образом, в общем уравнении прямой, коэффициенты при  и  суть координаты нормального вектора прямой.
	Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами  и . Возможны следующие случаи их взаимного расположения:
1)	прямые параллельны (в частности совпадают) тогда и только тогда, когда выполняется условие ;
2)	прямые пересекаются в некоторой точке, тогда угол между ними находится по формуле ;
3)	прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

Пример. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны декартовы координаты вершины острого угла  и уравнение противолежащего катета  . Составить уравнения двух других сторон этого треугольника.

Решение.

Найдем уравнение прилежащего катета. Так как ,  , то уравнение  имеет вид   .  Угол между катетом и гипотенузой в равнобедренном треугольнике  равен . Для нахождения уравнения гипотенузы воспользуемся формулой , из которой найдем угловой коэффициент прямой .
1.	.
Тогда уравнение  имеет вид
    
2.	.
Тогда уравнение    
Ответ:  ,    

Прямая и плоскость в пространстве
	Плоскость в декартовой системе координат может быть задана следующими уравнениями:
1. Общее уравнение плоскости
.
Кроме того, 

уравнение плоскости, которая проходит через точку  перпендикулярно вектору .
2. Уравнение плоскости “в отрезках”
,
где    – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях ,  и , соответственно.
3.	Уравнение плоскости, проходящей через три точки , , 
.
Прямая в пространстве задается:
1)	общими уравнениями  в пространстве в 

где , таким образом, прямая задана как линия пересечения двух плоскостей.
2)	каноническими уравнениями  в 
,
где  – точка, принадлежащая прямой, а  – направляющий вектор.
3)	параметрическими уравнениями

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку  и прямую .
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точку  и имеющей координаты вектора нормали , имеет вид
.
Найдем координаты вектора нормали.  – данная точка,  – точка, лежащая на нашей прямой,  – координаты направляющего вектора прямой. Тогда 
.
Запишем уравнение искомой плоскости 
,
,

4.5. Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 2

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
1. Параллелограмм построен на векторах   и .
Найти : 1) длины диагоналей параллелограмма; 2) косинус угла между диагоналями;  3) ; 4) площадь параллелограмма.
1.1. 	
1.2. 	 
1.3. 	 
1.4. 	 
1.5. 	 
1.6. 	  
1.7. 	 
1.8. 	 
1.9. 	  
1.10. 	 
1.11. 	 
1.12. 	
1.13. 	
1.14. 	
1.15. 	
1.16. 	
1.17. 	
1.18. 	
1.19. 	
1.20. 	

2. Даны координаты вершин пирамиды .
1) Найти модуль вектора 
2) Найти площадь грани 
3) Найти длину высоты, опущенной из вершины 
4) Найти косинус угла между векторами  и 
5) Записать уравнение плоскости 
6) Записать уравнение высоты, опущенной из вершины  на грань 

2.1. 	 
2.2. 	 
2.3. 	 
2.4. 	 
2.5. 	 
2.6. 	  
2.7. 	 
2.8. 	 
2.9. 	  
2.10. 	 
2.11. 	 
2.12. 	
2.13. 	
2.14. 	
2.15. 	
2.16. 	
2.17. 	
2.18. 	
2.19. 	
2.20. 	

3. В соответствии с вариантом выполнить следующие задания.

3.1. 	Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин: 
3.2. 	 Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма  и точка пересечения его диагоналей . Составить уравнения двух других сторон параллелограмма.
3.3. 	 Даны вершины треугольника  и точка пересечения его высот . Составить уравнения сторон треугольника.
3.4. 	 Даны вершины треугольника:  Найти длины его высот.
3.5. 	 Составить уравнения сторон квадрата, если известны одна из вершин  и точка пересечения диагоналей .
3.6. 	 Даны уравнения сторон прямоугольника  и одна из его вершин . Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.
3.7. 	 Даны уравнения сторон параллелограмма 
 и уравнение одной из его диагоналей  Найти координаты вершин этого параллелограмма.
3.8. 	 Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух других его сторон  и уравнение одной из его диагоналей 
3.9. 	 Составить уравнения сторон треугольника, если заданы две его вершины и точка пересечения медиан 
3.10. 	 Даны вершины треугольника:  Составить уравнения его высот.
3.11. 	 Даны две смежные вершины квадрата  Составить уравнения его сторон.
3.12. 	 Составить уравнения сторон и высот треугольника с вершинами в точках: 
3.13. 	 Даны две стороны прямоугольника  и уравнение его диагонали . Составить уравнения двух других сторон.
3.14. 	 Составить уравнения сторон и высот треугольника с вершинами в точках: 
3.15. 	 Три последовательные вершины параллелограмма имеют координаты:  Составить уравнения диагоналей этого параллелограмма. 
3.16. 	 Составить уравнения сторон и найти внутренние углы треугольника с вершинами в точках: 
3.17. 	 Дан треугольник с вершинами в точках:  Составить уравнения его высот и медиан.
3.18. 	 Даны вершины треугольника  и точка пересечения его медиан  Составить уравнения сторон этого треугольника.
3.19. 	 Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения его двух сторон и одна из его диагоналей .
3.20. 	 Найти точку пересечения высот треугольника с вершинами в точках: 

4.	Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду. Определить вид кривой и построить ее график.
4.1 	            
4.2 	
4.3 	        
4.4 	  
4.5 	       
4.6 	  
4.7 	        
4.8 	  
4.9 	         
4.10 	  
4.11 	             
4.12 	 
4.13 	      
4.14 	 
4.15 	                
4.16 	 
4.17 	    
4.18 	 
4.19 	           
4.20 	 

5.	В соответствии с вариантом решить задачу. 

5.1 	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку  и отсекающей равные отрезки на осях координат.,
параллельно плоскости  
5.2 	Проверить, лежит ли прямая    в плоскости  
5.3 	Составить уравнения плоскости, проходящей через прямую     параллельно прямой 
5.4 	При каком значении А плоскость , будет параллельна прямой  
5.5 	Составить уравнения плоскости, которая проходит через точку М(3;-2;-7) параллельно плоскости 

5.6 	Найти точку пересечения прямой и плоскости          и   
5.7 	Из точки М (2;0;-1) опустить перпендикуляр на плоскость 2x+3y –z+5=0. 
5.8 	Привести к каноническому виду прямую   
5.9 	Составить уравнения плоскости, проходящей через  параллельно прямым      и 
5.10 	Найти уравнение прямой  перпендикулярной к плоскости  проходящей через точку М(1;-1;2).
5.11 	Найти угол между прямой     и плоскостью      .
5.12 	Составить уравнения плоскости, проходящей через   и прямую   .
5.13 	Найти уравнение плоскости, проходящей через точку 
М(1;-2;3) параллельно прямым   и  
5.14 	Найти точку пересечения прямой    и плоскости    
5.15 	Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой  
5.16 	Найти точку Q, симметричную точке Р(1;3:-4) относительно плоскости  
5.17 	Найти проекцию точки   Р(5;2;1) на плоскость   
5.18 	Составит уравнения плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости  
5.19 	Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку  перпендикулярно плоскости  
5.20 	Написать параметрическое уравнения прямой проходящей через точку А(5;4;1) параллельно оси ОХ.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
 
1. 	Арефьев К. П., Ивлев Е. Т., Тарбокова Т. В. Системы линейных уравнений: учебное пособие. – Томск: Изд. ТПУ, 1996.
2. 	Высшая математика. Часть I: учебное пособие / К. П. Арефьев, А. И. Нагорнова, Е. И. Подберезина, Г. П. Столярова, А. Н.Харлова. – Томск: Изд. ТПУ, 2004. – 188 с.
3. 	Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в примерах и задачах. Часть I. – М.: Высшая школа, 1980. 
4. 	Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Часть I. – М., 1971.
5. 	Краткий курс высшей математики. Т. 1. / В. Е. Шнейдер и др. – М.: Высшая школа, 1978.

Учебное издание

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ

Методические указания и индивидуальные задания 
для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям
131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геология»,
130102 «Технология геологической разведки»,
022000 «Экология и природопользование»

Составители
РОЖКОВА Светлана Владимировна
РОЖКОВА Валентина Ивановна
МАТВЕЕНКО Галина Михайловна

Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии
с качеством предоставленного оригинал-макета

Подписано к печати 21.11.2011. Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка».
Печать XEROX. Усл. печ. л. 2,27. Уч.-изд. л. 2,05. 
Заказ     . Тираж 50 экз. 	
	Национальный исследовательский Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Издательства Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту BS EN ISO 9001:2008		
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30
                                         Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru