МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

	УТВЕРЖДАЮ
Проректор–директор ИПР
_______________ А.Ю. Дмитриев

	«____»_____________2011 г.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Методические указания и индивидуальные задания 
для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям
131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геология»,
130102 «Технология геологической разведки»,
022000 «Экология и природопользование»

Составители С.В. Рожкова, В.И. Рожкова, Г.М. Матвеенко

Семестр	1	
Кредиты	4	
Лекции, часов	10	
Практические занятия, часов	10	
Индивидуальные задания	2	
Самостоятельная работа, часов	88	
Формы контроля	зачет	

Издательство
Томского политехнического университета
2011

УДК 517
ББК  

Линейная алгебра и аналитическая геометрия: методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело», 130101 «Прикладная геология»,130102 «Технология геологической разведки», 022000 «Экология и природопользование» / сост. С.В. Рожкова, В.И. Рожкова, Г.М. Матвеенко; Томский политехнический университет.– Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011.– с.

Методические указания и индивидуальные задания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры высшей математики ФТИ «____» ______2011 года, протокол № ___.

Зав. кафедрой ВМ,
профессор, доктор физ.-мат. наук _________________К.П. Арефьев

Рецензент

Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры ВМ ФТИ
Э.М. Кондакова

© Составление.ГОУ ВПО НИ ТПУ, 2011
© Рожкова С.В., Рожкова В.И.,
Матвеенко Г.М, составление, 2011
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2011

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Ниже приводятся темы 1-го семестра дисциплины «Линеиная алгебра и аналитическая геометрия».

1. 	Линейная алгебра.
2. 	Векторная алгебра.
3. 	Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

Изучение курса математики для студентов преследует следующие цели:
1.	познакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач;
2.	создание отношения к математике как к инструменту исследования и решения прикладных задач; эта цель достигается выработкой у студентов понимания сущности математической модели и умение моделировать некоторые наиболее доступные объекты, процессы и явления;
3.	развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры, выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.
2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ
2.1. Элементы линейной алгебры
1.	Определители 2-го, 3-го, -го порядков, их свойства. Методы вычисления.
2.	Матрицы, их виды. Операции над матрицами. Ранг матрицы. 
3.	Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса.
2.2. Векторная алгебра
1.	Векторы. Линейные операции над векторами. Понятие линейной зависимости и независимости. Системы координат (аффинная, декартова, полярная).
2.	Скалярное произведение двух векторов, его свойства. Длина вектора, угол между векторами, условие перпендикулярности. Проекция вектора на вектор.
3.	Векторное произведение двух векторов, его свойства. Задачи о вычислении площадей треугольника и параллелограмма. Условие параллельности векторов.
4.	Смешенное произведение трех векторов, его свойства. Условие компланарности векторов. Вычисление объемов пирамиды и параллелепипеда.
2.3. Аналитическая геометрия
1.	Прямая линия на плоскости и в пространстве. Плоскость, исследование уравнения и построение в системе координат. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
2.	Кривые второго порядка: парабола, эллипс, гипербола. Кривые в полярной системе координат.

3. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ
3.1. Тематика практических занятий
1.	Элементы линейной алгебры. Методы решения систем линейных уравнений (правило Крамера, метод Гаусса). Схема решения произвольной системы линейных уравнений.
2.	Элементы векторной алгебры. Понятие вектора, линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов, его свойства. Векторное и смешанное произведения векторов .
3.	Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. 
4. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
4.1. Общие методические указания
Студент выполняет вариант, совпадающий с двумя последними цифрами его учебного шифра. Например, согласно шифру 5311/12, студент выполняет вариант № 12. Если последние цифры шифра превосходят число 20, следует вычесть число, кратное 20. Например, 5311/26, соответствует вариант № 6, полученного при вычитании  или шифру 5311/53 соответствует № 13 .
	При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:
1.	Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной (ученической) тетради, на внешней обложке указать фамилию, имя, отчество, полный шифр, номер контрольной работы.
2.	Работа выполняется чернилами (не красными) с полями для замечаний рецензента.
3.	Решения задач должны быть подробными, без сокращения слов. Перед решением каждой задачи должно присутствовать ее условие.
4.	Задачи располагать в порядке номеров, указанных в задании, не меняя этих номеров.

4.2 Методические указания к выполнению контрольной работы № 1
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Матрицей размера  называется прямоугольная таблица, в которой в специальном порядке записаны  элементов :
    или    .
Первый индекс  является номером строки, а второй индекс номером столбца, на пересечении которых в матрице стоит элемент .
Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк - ее порядком. Остальные матрицы называют прямоугольными. 
Две матрицы  и  считаются равными  тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы , ().
Диагональ квадратной матрицы, содержащая элементы , называется главной, а диагональ, которая содержит элементы , называется - побочной.
Суммой   - матриц  и  называется матрица  размера , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц  и :
,    ().
Произведением  матрицы  на число  (действительное или комплексное) называется матрица , которая получается из матрицы  умножением всех элементов на :
,    ().
Произведением    – матрицы  на  - матрицу  называется  - матрица , элемент которой  равен сумме произведений соответствующих элементов ой строки матрицы  и го столбца матрицы :
,    ().
Заметим, что число столбцов матрицы  должно быть равно числу строк матрицы .
По отношению к произведению двух матриц переместительный закон не выполняется, т.е.
.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой 
.

Сумма нулевой матрицы  и произвольной матрицы  дает матрицу :
.
Единичной матрицей называется матрица вида 
.
Пример. Вычислить 1)  2)  3) , где ; .
Решение. 
1) 	,
2) 	,
3) 	.
Введем понятие определителя (или детерминанта) матрицы. Определителем матрицы 

порядка  называется число , где определитель порядка , полученный из матрицы  вычеркиванием первой строки и го столбца. Число  называется дополнительным минором элемента . 
	Применим данное определение к матрицам 2-го и 3-го порядков. Для матрицы  имеем 
, 
где , . Аналогично для матрицы 
получим 

Заметим, что понятие определителя  имеет смысл только для квадратных матриц.
В дальнейшем умение вычислять определители понадобится нам для решения систем линейных уравнений методом Крамера.
Рассмотрим систему  линейных уравнений с  неизвестными   :
				(1)
Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы
,					(2)
а матрица 
				(3)
называется расширенной матрицей системы.
	Если , то система (1) называется однородной.
Числа  называются решением системы линейных уравнений, если будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Введем понятие ранга матрицы.
В матрице  размером  минор порядка  называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка  равны нулю или миноров порядка  вообще нет.
Рангом матрицы называется порядок базисного минора (обозначение ).
Проще всего находить ранг матрицы и ее базисный минор при помощи элементарных преобразований, к которым относятся:
1) 	замена строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками;
2) 	перестановка строк матрицы;
3) 	вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;
4) 	умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
5) 	прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.
Важное значение имеет теорема: элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются эквивалентными (пишут: ).
Если при помощи нескольких последовательно выполненных элементарных преобразований перейти от матрицы  к некоторой другой матрице , то . Вычислив ранг  мы тем самым будем знать и ранг . Оказывается, что от любой матрицы  можно перейти к такой матрице , вычисление ранга которой не представляет затруднений; для этого следует добиться, чтобы в  было достаточно много нулей 
.				(4)
Матрицы, имеющие вид (4) называются треугольными.
Пример. Найти ранг матрицы .
Решение.
.
Разберем преобразования матрицы :
1) 	ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на , к четвертой строке прибавим первую, умноженную на ;
2) 	разделим все элементы второй строки на , третьей на , четвертой строки на ;
3) 	к третьей и четвертой строкам прибавим вторую, умноженную на ;
4) 	вычеркнем третью и четвертую строки, состоящие только из нулей;
В результате данных преобразований остались две различные строки.
В качестве базисного минора возьмем определитель . Его порядок равен двум, а определителей третьего порядка составить уже нельзя, следовательно, .
Вопрос о совместности системы (1) полностью решается следующей теоремой: 
Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы.
Пусть для системы  линейных уравнений с  неизвестными выполнено условие совместности т.е.

тогда:
1) если , то система имеет единственное решение;
2) если , то то система имеет бесконечно много решений, а именно, некоторым  неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся  неизвестных определятся уже единственным образом.

	Рассмотрим далее некоторые методы решения систем линейных уравнений.

1. 	ПРАВИЛО КРАМЕРА. 
Если в системе (1)  и , то система (1) имеет единственное решение и 
,					 (5)

где  определитель, полученный из определителя матрицы  заменой го столбца на столбец свободных членов. Формулы (5) носят названия формул Крамера.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера (задача 1.1–1.20)

Решение.
,   ,   .
Вычислим определитель матрицы 

Так как , то система совместна и имеет единственное решение. Вычислим ,  и :

      
Таким образом, получили   
Проверка: 
Ответ:   

2. 	МЕТОД ГАУССА. 
	Пусть задана система (1). Для того чтобы решить систему (1) методом Гаусса, надо данную систему привести к треугольному виду, а затем обратным ходом последовательно вычислить неизвестные.
	На практике рациональнее преобразовывать не саму систему, а ее расширенную матрицу. Расширенную матрицу системы приводим с помощью элементарных преобразований к виду, когда все элементы, стоящие ниже главной диагонали равны нулю.
Метод Гаусса является одним из универсальных методов нахождения решения системы линейных уравнений. Его универсальность заключается в том, что он позволяет установить не только совместность или несовместности системы, но и найти решение совместной системы.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.
Выпишем расширенную матрицу  и приведем ее к треугольному виду (4): 

Разберем преобразование матрицы :
1) 	ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую;
2) 	сократим третью строку на ;
3) 	к третьей строке прибавим вторую, умноженную на ;
4) 	сократим третью строку на .
Мы видим, что , т. к. базисный минор . Число неизвестных . Следовательно, система совместна и имеет единственное решение. Найдем его методом Гаусса, для этого запишем систему, соответствующую преобразованной матрице  (укороченная система):                
Откуда получим:     Проверка: 
Ответ:   
СХЕМА РЕШЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
	1) проверяем условие  (если , то система не имеет решения);
	2) выбираем базисный минор порядка  и записываем укороченную систему;
	3) неизвестные  назовем базисными, а  свободными и выразим базисные неизвестные через свободные; 
	4) записываем общее решение системы.

Пример. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и одно частное решение

Однородная система всегда совместна, т.к. ее расширенная матрица  получается добавлением к основной матрице  нулевого столбца и, следовательно, всегда . 
 всегда является решением однородной системы (тривиальное решение).
Для существования нетривиального (ненулевого) решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы .

Найдем ранг матрицы .

	Разберем преобразования матрицы :
1)	ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на , к четвертой строке прибавим первую, умноженную на ;
2)	 разделим элементы второй строки на , элементы третьей строки на , а элементы четвертой строки на 2;
3)	из третьей и четвертой строк вычтем вторую строку.
Выберем в качестве базисного минора
.
Следовательно,  и система имеет ненулевые решения.
Запишем укороченную систему
.
В качестве базисных неизвестных выберем  и  (т. к. в базисный минор выбраны 1-й и 2-й столбцы), тогда  и  - свободные неизвестные. Полагая , , находим  и .
.
Подставим  в первое уравнение системы и найдем :

Запишем общее решение системы 
.
Из общего решения находим любое частное решение. Например, полагая , , получим , . Таким образом, частное решение системы имеет вид: , , , .

4.3. Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 1
Элементы линейной алгебры
1.	Найти значение матричного многочлена  , если задан многочлен  и матрица 
1.1. ,  . 
1.2.    
1.3. ,    
1.4.   
1.5. ,  
1.6. ,  

1.7. ,  
, 

1.8. ,   
1.9. , 
1.10. , 
1.11. , .
1.12. ,  . 
1.13.    
1.14. ,    
1.15.   
1.16. ,  
1.17. ,  

1.18. ,  
, 

1.19. ,   
1.20. , 

2.	Найти произведение матриц  и :

2.1           
2.2.,       .         
2.3. ,         
             2.4. 
          2.5. 

          2.6. ,             
         2.7. 
         2.8. 

           2.9. 

2.10. 
2.11.          
2.12.,       .         
2.13. ,         
               2.14. 
          2.15. 

          2.16. ,             
         2.17. 
         2.18. 

           2.19. 

2.20. 
3. Вычислить определитель матрицы из задания 2, соответствующего варианта.

4. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее двумя методами: 1) Крамера; 2) матричным.
4.1.                           4.2. 
4.3.                              4.4. 
4.5.                        4.6. 
4.7.                           4.8. 
4.9.                         4.10. 
4.11.                         4.12. 
4.13.                           4.14. 
4.15.                              4.16. 
4.17.                          4.18. 
4.19.                          4.20. 

5.	Найти общее и одно частное решение неоднородной системы линейных уравнений, записать фундаментальную систему решений.
5.1.     5.2. 
5.3.    5.4. 
5.5.        5.6.
5.7.              5.8.
5.9.    5.10.
5.11.      5.12.
5.13.    5.14.
5.15.      5.16.
5.17.   5.18.
5.19.      5.20. 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
 
1. 	Арефьев К. П., Ивлев Е. Т., Тарбокова Т. В. Системы линейных уравнений: учебное пособие. – Томск: Изд. ТПУ, 1996.
2. 	Высшая математика. Часть I: учебное пособие / К. П. Арефьев, А. И. Нагорнова, Е. И. Подберезина, Г. П. Столярова, А. Н.Харлова. – Томск: Изд. ТПУ, 2004. – 188 с.
3. 	Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в примерах и задачах. Часть I. – М.: Высшая школа, 1980. 
4. 	Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Часть I. – М., 1971.
5. 	Краткий курс высшей математики. Т. 1. / В. Е. Шнейдер и др. – М.: Высшая школа, 1978.

Учебное издание

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ

Методические указания и индивидуальные задания 
для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям
131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геология»,
130102 «Технология геологической разведки»,
022000 «Экология и природопользование»

Составители
РОЖКОВА Светлана Владимировна
РОЖКОВА Валентина Ивановна
МАТВЕЕНКО Галина Михайловна

Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии
с качеством предоставленного оригинал-макета

Подписано к печати 21.11.2011. Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка».
Печать XEROX. Усл. печ. л. 2,27. Уч.-изд. л. 2,05. 
Заказ     . Тираж 50 экз. 	
	Национальный исследовательский Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Издательства Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту BS EN ISO 9001:2008		
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30
                                         Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru