МЕТОД МОДЕЛИРОВАi= 3;ИЯ КАК СРЕДСТВ = 54; ИЗУЧЕНИЯ ПЕДАГОГИЧЕi= 7;КИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

О СУЩНОСТИ МЕТОДА МОДЕЛИРОВАi= 3;ИЯ В ПЕДАГОГИК = 45;

ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?

П= 077;рвоначальн&= #1086; моделью = 85;азывали

н= 077;кое вспомогатеl= 3;ьное средство ил = 80; объект, который в определеннl= 6;й ситуации за = 84;енял другой объект.

= ;

Напри&= #1084;ер, древние фил = 86;софы считали невозможныl= 4; моделироваl= 5;ие естественнm= 9;х процессов, так как, по их представлеl= 5;иям, природные и искусственl= 5;ые процессы по = 76;чинялись различным закономернl= 6;стям.

= ;

О= 085;и полагали, чт= 086; отобразить природу можно тольк = 86; с помощью ло= 075;ики, методов рассуждениl= 1;, споров, т.е., по современно= й терминологl= 0;и, языковых мо = 76;елей.

= ;

Ч= 077;рез несколько столетий де= ;визом английскогl= 6; Королевск= 086;го научного об = 97;ества стал лозунг &qu= ot;Ничего словами!", который явился кратчайшим = 80;зложением принципов естествозн= ания: признавали= ;сь только выводы, подк= 088;епленные эксперименm= 0;ально или математ = 80;ческими выкладками.=

= ;

В английском языке до сих пор в поняти= 077; "наука" не входят области знания, кото= 088;ым в русском языке соответствm= 1;ет термин "гуманитарн= ;ые науки", - они отнесены к категории "l= 0;скусств".

= ;

В результате очень долго понятие "мо= ;дель" относилось только к мат= 077;риальным объектам специальноk= 5;о типа, например ма = 85;екен (модель чело= 074;еческой фигуры), гидродинамl= 0;ческая уменьшеннаn= 3; модель плотины, модели судо = 74; и самолетов= ;, чучела (модели живо= 090;ных) и т.п.

О= 076;но из определениl= 1; таких модел = 77;й:

= м&#= 1086;делью называетl= 9;я некий объек&= #1090;-заместитеl= 3;ь, который в опре= деленных условиях может заменять объект-ориг = 80;нал, воспроизвоk= 6;я интересующl= 0;е нас свойств = 72; и характерисm= 0;ики оригинала, причем имее = 90; существеннm= 9;е преимущестk= 4;а удобства = (н&= #1072;глядность, обозримостn= 0;, доступност= ь испытаний, л= 077;гкость оперированl= 0;я с ним и пр.). <= /b>

&nbs= p;

З= 072;тем были осозна= ;ны модельные свойства чертежей, рисунков, карт - реальных объектов ис= ;кусственно = 75;о происхождеl= 5;ия, воплощающиm= 3; абстракцию довольно вы = 89;окого уровня. След= ующий шаг заключался = 74; признании того, что моделями мо= ;гут служить не только реальные объекты, но и абстрактныk= 7;, идеальные п = 86;строения.

= ;

Т= 080;пичным примером служат математич= 077;ские модели. В результате деятельносm= 0;и математикоk= 4;, логиков и философов, занимавшихl= 9;я исследован= ием оснований математики, была создан = 72; теория моделей.
В ней модель определяет&= #1089;я как результат отображениn= 3; одной абстр = 72;ктной математиче= ской структуры н = 72; другую, тоже абстрактнуn= 2;, либо как результат и = 85;терпретац = 80;и структуры в терминах и образах вто = 88;ой.

= ;

Мод&= #1077;ль является не просто образом - заменителеl= 4; оригинала, н= 077; вообще каким-то отображениk= 7;м, отображениk= 7;м целевым.

Чт&#= 1086;бы подчеркнутn= 0; это рассмотрим модель «аби = 90;уриент» (рис. 1).

Рис. 1. Использовk= 2;ние модели «абитуриенm= 0;»

И= 079; того, что модель является целевым отображениk= 7;м, с очевидностn= 0;ю следует мнl= 6;жественнос= 090;ь моделей одного и тог= 086; же объекта: для разных ц= 077;лей обычно требуются разные модели.

Л= 102;бая отрасль знания може= ;т с большим основанием именоватьсn= 3; наукой, чем в большей степени в не= 081; используетl= 9;я математика. = Математичеl= 9;кие модели обла= дают абсолютной точностью, н= 086; чтобы дойти до их исполь= 079;ования в данной обл= 072;сти, необходимо получить достаточноk= 7; для этого ко= 083;ичество знаний. Нематематиk= 9;ированност= 100; какой-то науки не означает ее "ненаучност= ;ь", а есть следствие сложности, недостаточl= 5;ой познанностl= 0; ее предмета.

Модель представляk= 7;т собой математичеl= 9;кое описание интересующl= 0;х исследоватk= 7;ля связей и соотношениl= 1; между реаль = 85;ыми элементами анализируеl= 4;ой системы.

Если в описании модели используютl= 9;я случайные величины, то &#= 1090;акая модель называется вероятностl= 5;ой, или стохастичеl= 9;кой

= ;

Г = 83;авная ценность моделей как формы зн= 072;ний состоит в том, что они с&= #1086;держат объективну= ю истину, т.е. в чем-то правильно отображают моделируемl= 6;е.

Одна&#= 1082;о, кроме безусловно истинного с = 86;держания в модели имеется и ус= 083;овно-истинн= ое (т.е. верное лишь при определеннm= 9;х условиях), и предположи= тельно-исти = 85;ное (т.е. условно-ист = 80;нное при неизвес = 90;ных условиях), а следователn= 0;но, и ложное.

При этом в каждm= 9;х конкретных условиях точно неизвестно, каково же фа= 082;тическое соотношениk= 7; истинного и ложного в данной моде = 83;и. Ответ на этот вопрос дает только практика.

Одна&s= hy;ко в любом случае модель принципиалn= 0;но беднее оригинала, это ее фундаментаl= 3;ьное свойство.

Говоря о ходе построения модели, необходимо отметить, чт= 086; общая проце = 76;ура построения модели, как правило, включает ря = 76; этапов:

1)   соз&= #1076;ание модели;

2)   выв&= #1086;д теоретичесl= 2;их соотношениl= 1;, аналитичесl= 2;их представлеl= 5;ий и зависимос = 90;ей;

3)   оце&= #1085;ка параметров модели;

4)   пол&= #1091;чение численных предсказан= ий;

5)   уто&= #1095;нение самой модел = 80;.

&= #1055;ри описании педагогичеl= 9;кого явления, следует все = 75;да учитывать, тот факт, что любое педаг&= #1086;гическое понятие следует относить к = 75;ибким (расплывчат = 99;м) научным понятиям, использоваl= 5;ие которых в педагогиче= ских исследованl= 0;ях как на этапе формулировl= 2;и рабочей гипотезы, та= 082; и на этапе интерпретаm= 4;ии полученных результатоk= 4; ставит педагога-ис= ;следовател= 03; перед необходимоl= 9;тью выбора

q       соотве = 90;ствующих критериев, определяющl= 0;х уровень точности и к= 086;рректности описаний самих педаг = 86;гических явлений.

<= o:p>

&= #1042; настоящее время можно выделить, по крайней мер = 77;, два основны = 93; подхода к моделироваl= 5;ию педагогичеl= 9;ких понятий.

= <= o:p>

= &= #1055;ервый подход основан на необходимоl= 9;ти грубой схематизацl= 0;и и упрощения самого явления, что позволяет описывать отдельные стороны его проявления = 85;а строго количествеl= 5;ном уровне с использоваl= 5;ием различных методов многомерноk= 5;о статистичеl= 9;кого анализа.

= <= o:p>

= &= #1042;торой подход к моделироваl= 5;ию педагогичеl= 9;ких понятий - путь строго = 75;о, формальног= о их описания, основанногl= 6; на применении = 72;лгоритмиче&#= 1089;ких моделей.

&= #1055;реимуществ= ;о второго подхода заключаетсn= 3; в том, что в сочетании с вычислителn= 0;ной техникой появляются возможностl= 0; практическl= 6;й формализацl= 0;и и описания педагогичеl= 9;ких понятий во многих их су= 097;ественных проявленияm= 3; и особеннос = 90;ях.

ОСi= 3;ОВНЫЕ МОДЕЛИ СОВРЕМЕННОh= 9; ТЕОРИИ ТЕСТ = 48;РОВАНИЯ

Основно= ;е назначение педагогичеl= 9;кого тестированl= 0;я – оценивание уровня подг = 86;товленност&#= 1080; участников тестированl= 0;я в определен = 85;ой области знаний.

Причем оценка долk= 8;на обладать свойством объективноl= 9;ти, то есть при тестированl= 0;и одного и тог= 086; же испытуемогl= 6; различными тестами должны получаться близкие, с точностью д = 86; погрешностl= 0; вычислений, результаты.

         = В первой половине 20-го века была разработанk= 2; теория, позволяющаn= 3; получать и и= 085;терпретиро&= #1074;ать результаты тестированl= 0;я с единой точки зрени= 03;. Эта теория получила на = 79;вание классическ= ;ой теории тестированl= 0;я (КТТ). В ее основу лег постулат, чт= 086; наблюдаемыl= 1; балл участника тестированl= 0;я представляk= 7;т собой сумму его истинного балла и неко= 090;орой случайной ошибки измерения.

,    =             &nb= sp;            =             &nb= sp; (1)

где =    T_{ист<=
/span>} – ист&= #1080;нное значение (истинный балл),

X_ф – наблюдаемыl= 1; результат,

Е – суммарная ошибка измерения.=

На практике в КТТ часто вообще игнорируетl= 9;я, и первичный балл испытуемогl= 6; принимаетсn= 3; за его истинный балл.

Если же этот вопрос не игнорируетl= 9;я, то ошибка из= 084;ерения определяетl= 9;я через коэфф = 80;циент надежности теста:

        =             &nb= sp;            =             &nb= sp;           _{,        =
            &nb=
sp;            =
            &nb=
sp;
(2)}

где    _{- среднее
квадратичнl=
6;е
отклонение перви=
;чных
баллов
испытуемых,}

r - коэффициенm= 0; надежности.

Таким образом, ошибка измерения Е<= /i> является функцией двух величи = 85; – надежност = 80; теста и среднего квадратичнl= 6;го отклонения = 73;аллов испытуемых, то есть оши = 73;ка измерения является одинаковой<= /b> для всех испытуемых данной выборки.

Зная ошибку измерения, можно построить д&= #1086;верительны= ;й интервал для любого первичного балла _{. Так при
доверительl=
5;ой
вероятностl=
0;
95 % доверитель=
ный
интервал
принимаетсn=
3;
равным}

_,

где 1,96 – значение _{=
-констант=
ы
   Сть&#=
1102;дента
при данной
доверительl=
5;ой
вероятностl=
0;.}

         = Достоинстk= 4;о КТТ - простота обработки и интерпретаm= 4;ии результатоk= 4;. Однако КТТ обладает целым рядом существеннm= 9;х недостаткоk= 4;, которые привели к появлению в 60-х годах прошлого столетия принципиалn= 0;но нового подхода к теории тестированl= 0;я.

Новая теория тестированl= 0;я получила название Item= Response Theory (IRT) или теории моделироваl= 5;ия и параметризk= 2;ции тестов (ТМПТ= ;) в русскоязычl= 5;ой литературе.

         =

Основна= ;я цель ТМПТ состоиm= 0; в разработк&= #1077; математичеl= 9;кой модели проц = 77;сса тестированl= 0;я, параметрамl= 0; которой, подлежащимl= 0; определениn= 2;, служат характерисm= 0;ики участников тестированl= 0;я и самого теста.

В основk= 7; всех моделе = 81; ТМПТ лежит = 92;ункция успеха, определяющk= 2;я зависимостn= 0; вероятностl= 0; правильногl= 6; выполнения = 79;адания (или какой-либо его части) от уровня подг = 86;товленност&#= 1080; участника тестированl= 0;я и параметро = 74; задания.

         = Использовk= 2;ние моделей ТМП = 58; позволяет п = 88;еодолеть недостатки КТТ и перейт= 080; к оценивани= 02; уровня подготовлеl= 5;ности как к процес= 089;у объективно= ;го измерения, результаты которого со&= #1087;ровождаютс= ;я характерисm= 0;иками точности и отражены на метрическоl= 1; шкале.

Исх&= #1086;дная матрица ответов содержит в себе лишь результаты формальных = 85;аблюдений над случайными событиями. Первичные б = 72;ллы, по существу, не являются баллами, что-либо оценивающиl= 4;и, а лишь фиксируют количество положительl= 5;ых исходов слу = 95;айных событий.

Эти количества естественнl= 6; образуют по = 88;ядковую шкалу. Задач= 072; состоит в том, чтобы преобразовk= 2;ть формальные наблюдения = 79;а исходом отдельных с = 83;учайных событий в измерения, т= 086; есть непрерывныk= 7; переменные со значениями на метричес = 82;ой шкале.

В результате получаем объективныk= 7; оценки параметров уровня подготовлеl= 5;ности испытуемых = 80; трудностей заданий тес = 90;а, что позволяет обоснованнl= 6; пользоватьl= 9;я методами статистичеl= 9;кого анализа, оценивать т = 86;чность тестовых баллов, строить дов = 77;рительные интервалы и т.д.

Пон&= #1103;тие функции успеха

Осн&= #1086;вное предположеl= 5;ие   ТМПТ=     подразумеk= 4;ает, что   наблюдаемm= 9;е   результатm= 9; выполнения теста порождаютсn= 3; взаимодейсm= 0;вием двух множеств:

q&nb= sp;      множества значений ₍n=3D1,…,N) лат&= #1077;нтного (то есть скрытого от непосредстk= 4;енного наблюдения) параметра, характеризm= 1;ющего уровень знаний испы = 90;уемого n, и

q&nb= sp;      множества значений ₍i=3D1,…,I) лат&= #1077;нтного параметра, характеризm= 1;ющего уровень трудности i-го задания теста [1; 7; 9].

При&= #1095;ем, чем выше уровень знаний испытуемогl= 6; в определеннl= 6;й области, тем больше его ш= 072;нсы на успех при выполнении любого зада = 85;ия из этой области. И наоборот, че= 084; ниже уровен= 00; знаний испытуемогl= 6;, чем хуже подготовлеl= 5; он относите = 83;ьно того, что нужно знать = 080; уметь в данн= 086;й области знаний, тем меньше вероятностn= 0; верного выполнения = 83;юбого задания из этой област = 80;.

  &nbs= p;      Предп= оложим, что параметры _{и оцени=
ваются
в одной и той
же шкале. Тог&#=
1076;а
значение
параметра _{можно
рассматривk=
2;ть
как положен
=
80;е
испытуемогl=
6;}}n , а = _{как по=
;ложение
задания}i <= /i> на одной и той же оси переменных , _.

Пус&= #1090;ь _{-
вероятностn=
0;
того, что
участник
тестированl=
0;я}n правиль= ;но выполнит   i-ое зад&= #1072;ние теста. Тогда разумно предположиm= 0;ь, что

q&nb= sp;      Если _{-_>0} (чтl= 6; означает, чт= 086; уровень знаний испытуемогl= 6; выше уровня трудности данного задания), то _{>_{, то есть
более
вероятно, чт=
086;
испытуемый
выполнит эт
=
86;
задание
верно.}}

q&nb= sp;      Если же _{-_<0} (что означает, чт= 086; уровень трудности задания выш = 77; уровня знаний испытуемогl= 6;), то _{<_{, то есть
более
вероятно, чт=
086;
испытуемый
=
74;ыполнит
это задание
неверно.}}

q&nb= sp;      Если = _{-_=3D0,} то разумно считать _{=3D_.}

Так&= #1080;м образом, вероятностn= 0; _{может
быть
представлеl=
5;а
как функция
разности пе
=
88;еменных   _{и   _:}}

        =             &nb= sp;                     =          _=3Df (_{-_{)        =
            &nb=
sp;            =
            &nb=
sp;
(3)}}

В ТМПТ эту функцию принято называть фm= 1;нкцией успеха. Если вид функции усп = 77;ха известен, то по результа = 90;ам реальных испытаний (и при наличии некоторой д = 86;полнительн&#= 1086;й информации) можно известными методами с определеннl= 6;й точностью количествеl= 5;но оценить аргументы этой функци = 80;, то есть оцен= 080;ть уровни знаний испы = 90;уемых и уровни трудностей заданий теста. На рис. 1 представлеl= 5; примерный график функции усп = 77;ха (3):

Рис. 1. График функции успеха (2.1)

  &nbs= p;      Если в формуле (3) зафиксировk= 2;ть переменную _{, а _{рассм=
атривать
как независ
=
80;мую
переменную, =
090;о
получим}}

        =             &nb= sp;            =            _{=
     _{=
            &nb=
sp;            =
    (4)}}

-   вер&= #1086;ятность правильногl= 6; выполнения испытуемымl= 0; с различным = 80; уровнями подготовки i- го задания теста.

При&= #1084;ерный график функции (4) представлеl= 5; на рис. 2 и называется харак= 090;еристическ&= #1086;й кривой i- го задания теста.

Р = 80;с. 2. Характерисm= 0;ическая кривая i-го задания теста

  &nbs= p;      Таким образом, есл= 080; уровень знаний испытуемогl= 6; _{намно=
го
больше
уровня труд
=
85;ости
данного
задания _{, то
вероятностn=
0;
его
правильногl=
6;
ответа на эт=
086;
задание _{стремитс&=
#1103;
к 1.
Аналогично,
если _{намно=
го
меньше=

_{, то _{. Если же _{, то _.}}}}}}}

  &nbs= p;      Если в формуле (3) зафиксировk= 2;ть переменную , а _{рассм=
атривать
как независ
=
80;мую
переменную,
то получим=}

        =                 =             &nb= sp;         _{=
            &nb=
sp;            =
            &nb=
sp;     (5)}

- вероятностn= 0; правильногl= 6; выполнения испытуемым n различн= ;ых по трудност = 80; заданий теста.

При&= #1084;ерный график= функции (5) представлеl= 5; на рис. 3 и называется харак= 090;еристическ&= #1086;й кривой испытуемогl= 6; n.

Р = 80;с. 3. Характерисm= 0;ическая кривая испытуемогl= 6; n

Так&= #1080;м образом, есл= 080; уровень трудности задания _{намно=
го
больше
уровня подг
=
86;товленност&#=
1080;
данного
испытуемогl=
6; _{, то
вероятностn=
0;
его
правильногl=
6;
ответа на эт=
086;
задание _{стрем=
ится
к 0.
Аналогично,
если _{намно=
го
меньше=

_{, то _{. Если же _{, то _.}}}}}}}

Выб&= #1086;р вида функци = 80; успеха определяетl= 9;я математичеl= 9;кой моделью, которая наи = 73;олее адекватна реальным данным. Рассматрим основную модель, применяемуn= 2; в педагогич = 77;ском тестированl= 0;и (например, в ЕГЭ).

        &= nbsp;

О&= #1089;новная модель Раша

Пре&= #1076;положим, что для сравнения уровней под = 75;отовленнос&#= 1090;и _{и двух испы=
туемых}n и m в какой-либо области знаний им предлагаетl= 9;я выполнить = ;k дихотом= ;ических задаl= 5;ий одинаковой трудности t. Положим

_{_<=
/span>}

         Пус&#= 1090;ь _{- число
заданий,
которые оба
испытуемых
выполнили
верно, _{- число заk=
6;аний,
которые
выполнил
верно тольк
=
86;
испытуемый n (а
испытуемый m –
неверно), _{- число
заданий,
которые
выполнил верно
только
испытуемый m (а
испытуемый n – неверl=
5;о)
и _{- число
заданий,
которые оба
испытуемых
выполнили
неверно.
Очевидно, чт=
086;
_{. Табл. 1
наглядно
представляk=
7;т
рассматривk=
2;емую
ситуацию.}}=}}}

        =             &nb= sp;           =             &nb= sp;            =             &nb= sp;            =      Табли= 094;а 1

_<=
/sub>

_<=
/sub>

_<=
/sub>

_<=
/sub>

_<=
/sub>

_<=
/sub>

_<=
/sub>

_<=
/sub>

        =             &nb= sp;            =             &nb= sp;

  &nb= sp;      = 58;аким образом, возможны 4 различных исхода при решении испытуемымl= 0; n и = m <= /i>зад&= #1072;ний теста. Но два из этих исходо = 74; неинформатl= 0;вны, так как не позволяют сравнить ис = 87;ытуемых n и = m. Дей&= #1089;твительно, если оба испытуемых выполнили задание верно или об= 072; испытуемых выполнили задание неверно, то это задание не несет ник= 072;кой информации = 86;тносительн&#= 1086; сравнения уровней подготовлеl= 5;ности испытуемых n и = m.

Пус&= #1090;ь _{-
вероятностn=
0;
того, что
испытуемый n выполни=
;т
верно i-ое зад&=
#1072;ние
теста, тогда _{-
вероятностn=
0;
противополl=
6;жного
события, то
есть того
,что
испытуемый}}n <= /i>вып&= #1086;лнит i-ое задание теста неверно. Соответствk= 7;нно, _{- то же для
испытуемогl=
6;}m. В табл. 2 представлеl= 5;ы вероятностl= 0; всех четыре = 93; возможных исходов.

        =             &nb= sp;            =             &nb= sp;            =             &nb= sp;            =     Таблицk= 2; 2

_<=
/sub>

_<=
/sub>

_<=
/sub>

_<=
/sub>

_<=
/sub>

_<=
/sub>

_<=
/sub>

_<=
/sub>

Для сравнения испытуемых n <= /i>и m удобнее рассматривk= 2;ть отношение _{, которое l=
0;
определяет
соотношениk=
7;
уровней под
=
75;отовленнос&#=
1090;и
испытуемых n и =
  m <=
/i>–
тем точнее,
чем больше
количество
заданий k. В
пределе при имеем=
:}

        =      _{.        =

        =
            &nb=
sp;            =
          (6)=}



  &nbs= p;      Таким образом, уровни подготовлеl= 5;ности двух испытуемых измеряются = 89; помощью заданий одной и той же трудност = 80; t.

Одн&= #1072;ко, объективноk= 7; сравнение испытуемых <= u>не должно зависеть от измерительl= 5;ого инструментk= 2;, то есть от трудности заданий, с помощью кот = 86;рых они оценива= 02;тся. Другими словами, соотношениk= 7; _{должн=
о
оставаться
неизменным
при использ
=
86;вании
любых други
=
93;
заданий (но
из той же
области
содержания) =
089;
отличным от t уровнем
трудности.}

На математичеl= 9;ком языке это означает сл = 77;дующее:

        =             &nb= sp;     _{дл=
103; любых=
; =
;}i,j        =             &nb= sp;            =       (7)

или

        =             _{.        =
            &nb=
sp;            =

        =
            (8)}

  &nbs= p;      Рассм= отрим некоторое стандартноk= 7; задание, уровень трудности которого условно при = 85;ят за единицу. Пусть _{-
вероятностn=
0;
того, что
испытуемый n выполни=
;т
это задание
верно, _{.
Соответствk=
7;нно,
_{- то же для
испытуемогl=
6;}}m. Тогда
соотношениk=
7;
(7) можно
переписать
=
74;
виде}

        =             _{.        =
            &nb=
sp;            =
            &nb=
sp;            =

(9)}

  &nbs= p;      Данно= е соотношениk= 7; позволяет вложить в п = 86;нятие уровня подготовлеl= 5;ности определеннm= 9;й количествеl= 5;ный смысл, а именно

        =             &nb= sp; _{,        =
            &nb=
sp;            =
            &nb=
sp;            =

(10)}

то есть уровень подготовлеl= 5;ности любого испы = 90;уемого определяет= ;ся как отношение вероятностl= 0; верного выполнения им стандарт = 85;ого задания, уровень трудности которого принят за единицу, к вероятностl= 0; неверного выполнения этого задания.

  &nbs= p;

Дал&= #1077;е заметим, что процесс измерений l= 5;е должен зависеть н= 077; только от измерительl= 5;ого инструментk= 2; (то есть от избранных заданий), но и = от объекта измерений (то есть от испытуемых). Это означае = 90;, что пропорц = 80;я (7) должна оставаться справедливl= 6;й для любой пары испытуемых.

  &nbs= p;

Рас&= #1089;мотрим некоторого стандартноk= 5;о испытуемогl= 6;, уровень подготовлеl= 5;ности которого условно принят за единицу. Пусть _{-
вероятностn=
0;
того, что
этот испыту
=
77;мый
выполнит
верно
стандартноk=
7;
задание,
уровень
трудности
которого
условно
принят за ед=
080;ницу.
Тогда из (10)
имеем, что
уровень
подготовлеl=
5;ности
рассматривk=
2;емого
испытуемогl=
6; _{опред=
еляется
как}}

        =             &nb= sp;            =     _{,        =
            &nb=
sp;            =
            &nb=
sp;            =
            &nb=
sp;
(11)}

и так как _{=3D1, то&nbs=
p;
из (11) следует=
;,
что _.}

  &nbs= p;      Таким образом, вероятностn= 0; того, что стандартныl= 1; испытуемый верно выполнит стандартноk= 7; задание равна _.

  &nbs= p;      Тогда из (8) имеем (m=3D1, j=3D1):

<= o:p>

        =             &nb= sp;   .        =         =             &nb= sp;      (12)

  &nbs= p;      Как уже отмечалось выше, _{_{характер&=
#1080;зует
уровень
подготовлеl=
5;ности
испытуемогl=
6;}}n. Аналогично, величина

        =             &nb= sp;            =             &nb= sp; _{=
            &nb=
sp;            =
            &nb=
sp;            =
     (13)}

характе= ;ризует уровень трудности i-го задания теста. Здесь - вероятностn= 0; того, что дан&#= 1085;ое задание будет выполнено верно участ = 85;иком тестированl= 0;я, уровень подготовлеl= 5;ности которого условно принят за единицу.

Опр&= #1077;деления (10) и (13) связаны с таким заданием ил = 80; таким испытуемым, которые определяют единицы измерения для труднос = 90;и или подготовлеl= 5;ности соответствk= 7;нно.

  &nbs= p;      Таким образом, из (12) имеем

        =             &nb= sp;            =            .        =             &nb= sp;            =             &nb= sp;            =      (14)

  &nbs= p;      В формуле (14) _{- характе=
ристика
исключителn=
0;но
испытуемогl=
6;, _{- характе=
ристика
исключителn=
0;но
задания.}}

Сле&= #1076;овательно, параметры испытуемогl= 6; и задания полностью разделены, = 95;то дает возможностn= 0; оценить уровень под = 75;отовленнос&#= 1090;и испытуемогl= 6; независимо = 86;т уровня трудности задания, и, наоборот, оц= 077;нить уровень трудности задания независимо от уровня подготовлеl= 5;ности испытуемогl= 6;.

  &nbs= p;      Проло= гарифмируеl= 4; обе части равенства (14)

        =             &nb= sp;     _{=
            &nb=
sp;            =
            &nb=
sp;          (15)<=
o:p>}

или

        =             &nb= sp;         _{,        =
            &nb=
sp;
        =
            &nb=
sp;            =
            (16)}

где =3D> b_n =3D e<= sup>= qⁿ, d_i =3D e<= sup>= dⁱ. =

При этом функцl= 0;я успеха принимает вид

_{&=
nbsp;      (17)}

Пер&= #1077;менные _{и будем,
по-прежнему,
называть
соответствk=
7;нно
уровнем под
=
75;отовленнос&#=
1090;и
испытуемогl=
6;}n и уровнем трудности задания i.

Оче&= #1074;идно, что они изм = 77;ряются по одной и той же линейной шкале действителn= 0;ных чисел, един = 80;цу измерения которой принято называть оk= 6;ин логит.

  &nbs= p;

Фор&= #1084;ула (16) определяет вид функции успеха в рассматривk= 2;емом случае и пол= 091;чила название оl= 9;новной модели Раша= .

Пер&= #1077;менные _{и здесь
трактуются
как
способностn=
0; испытуемог&#=
1086;
и трудность =
079;адания
соответствk=
7;нно.
Из (16) видно, чт
=
86;
вероятностn=
0;
того, что
испытуемый n выполни=
;т
верно _-ое
задание _{,по
существу,
зависит
только от
разности _{и
потому
модель (16)
может
считаться о
=
76;нопараметр&#=
1080;ческой.
Функция (16)
принадлежиm=
0;
к семейству
логистичесl=
2;их
функций,
поэтому
иногда эту
модель назы
=
74;ают
логистичесl=
2;ой.
И так как
рассматривk=
2;емые
задания был
=
80;
дихотомичеl=
9;кими
(то есть
оценивалисn=
0;
лишь в двух
категориях
верно/невер
=
85;о),
то модель
называют
дихотомичеl=
9;кой.
Таким образ
=
86;м,
полное назk=
4;ание
данной
модели –
основная
однопарамеm=
0;рическая
дихотомичеl=
9;кая
логистичесl=
2;ая
модель Раша.}}}

Сущ&= #1077;ствуют расширения дихотомичеl= 9;кой модели Раша, которые образуют се = 84;ейство основных моделей Раш = 72;. В основном эти модели пока еще практическl= 0; не использу= 02;тся в нашей стране. Рассмотрим их области применения:

Р = 80;с. 4. Диаграмма связей межд = 91; основными моделями Г. Раша

=

ЗАК&= #1051;ЮЧЕНИЕ<= /p>
            <= /span>

Фун&= #1082;ция (16) представляk= 7;т собой функцию дву = 93; параметров: способностl= 0; испытуемогl= 6; и трудности выполнения&nbs= p; соответст&= #1074;ующего шага в задании i.

Ура&= #1074;нение (16) определяет совокупносm= 0;ь из _{па=
;раллельных не
пересекающl=
0;хся
логистичесl=
2;их
кривых, что
является
главным отл
=
80;чием
этих моделе
=
81;
от других мо=
076;елей
современноl=
1;
теории
тестированl=
0;я}IRT. Параметр наклона кривых намеренно и = 89;ключен из рассмотр = 77;ния.

Это свойство имеет важно = 77; значение, та= 082; как позволяет отделить параметры и = 89;пытуемых и параметры заданий, что играет боль = 96;ую роль при их оценивании. = Отделимост&#= 1100; параметров = 87;озволяет гарантировk= 2;ть инвариантнl= 6;сть параметров<= /b>.

Бал&= #1083;ы, выставляемm= 9;е испытуемым по результа = 90;ам тестированl= 0;я, можно вносить в свидетельсm= 0;ва государствk= 7;нного образца, использоваm= 0;ь при конкурсном отборе в вуз= 099; и т.п. только при условии их инвариантнl= 6;сти относительl= 5;о тестовых заданий, по результатаl= 4; выполнения которых они получены.

Ана&= #1083;огично, характерисm= 0;ики трудности т = 77;стовых заданий, полученные по результа = 90;ам тестированl= 0;я определеннl= 6;й группы люде = 81;, можно вносить в банк тестовых заданий с целью дальнейшегl= 6; использоваl= 5;ия только при условии их инвариантнl= 6;сти относительl= 5;о различных контингентl= 6;в испытуемых. Таким образом, инвариантнl= 6;сть - необходимо= 077; условие оценивания испытуемых = 80; калибровки заданий.

Исп&= #1086;льзование моделей Раш = 72; имеет и ряд других существеннm= 9;х преимущестk= 4;. Уровни подготовлеl= 5;ности испытуемых = 80; уровни трудности заданий теста могут быть предст = 72;влены на одной метрическоl= 1; шкале и сопровождеl= 5;ы качественнl= 6;й характерисm= 0;икой точности измерения. Таким образом, использоваl= 5;ие моделей Раш = 72; позволяет преобразовk= 2;ть результаты наблюдений = 74; такие оценк = 80; _{и , которые
можно тракт
=
86;вать
как ре
=
79;ультаты
измерения<=
/b>
уровня
подготовлеl=
5;ности
испытуемых
=
80;
уровня
трудности
заданий.}

&nb= sp;

П&= #1088;имер – тема 2

&nb= sp;

С&= #1087;исок литературы=

   1. Н= ;ейман Ю.М., Хлебников В.А. Введение в теорию мод= 077;лирования и

парам= ;етризации педагогичеl= 9;ких тестов. – М.: Прометей, –2000. – 169 с.

   2. Нейман Ю.М., Хлебников В.А. Педагоги&#= 1095;еское тестированl= 0;е как измерение.

Учебн= ;ое пособие, ч.1. – i= 2;.: Центр Тестированl= 0;я МО РФ. – 2002. – 67 с.

   3. Нейман Ю.М., Хлебников В.А. Как оцени&= #1074;ается уровень подготовлеl= 5;ности         учащихся п = 86; результатаl= 4; единого государствk= 7;нного экзамена. – М.: – Центр Тестированl= 0;я МО РФ. – 2003. – 44 с.

   4. Психологичk= 7;ская диагностикk= 2; / Под редакцией Гуревича К.М., Борисовой   Е.М. – = 052;.: Издательстk= 4;о УРАО. – 2000. – 302 с.

   5. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математичеl= 9;кая статистика. = 211; М.: Высшая Школа. – 1994.– 336 с.=

   6. Пайнс Э., Маслач К. Практикум п = 86; социальной психологии. = 211; С.-П.: Питер. –2000. – 522 с.

   7. Wright B.D., Stone M.N. Best Test Design. Rasch Measurement Chicago, 1979, Mes= a Press, 223 p.

   8. Wright B.D., Masters G.N. Rating Scale Analysis. Rasch Measurement. – Chi= cago: Mesa Press. – 1979. – 206 p.

   9. Hamblenton R.K., Swaminat= han H., Rogers H.J. Fundamentals of Item Response Theory. – London.: Sage publications. –1982. – 174 p.

   10. Wright B.D., Mok M. Rasch Model Overview // Journal of Applied Measurement, 2000. – V.1. – № 1. – Р. 83-106.

   11. Rasch G. Probabilistic M= odels for Some Intelligence and Attainment Tests. Copengagen, 1960, Danish Instit= ute of Educational Research (Expanded edition, –Chicago.: Mesa Press. = 211; 1980. – 199 p.).

   12. Smith R.M. Rasch Measure= ment Models: Interpreting Winsteps/Bigsteps and Facets Output. Maple Grove. – Minnesota.: JAM Press. – 1999. – 5= 8 p.

   13. Smith E.V., Wakely M.B.,= Kruif R. Optimizing Rating Scales. In press: Educational and Psychological Measurement, 31 p.

	_<= /sub>	_<= /sub>
_<= /sub>	_<= /sub>	_<= /sub>
_<= /sub>	_<= /sub>	_<= /sub>

При этом функцl= 0;я успеха принимает вид