Математический маятник   
       Рассмотрим малые колебания математического маятника.

Для анимации изображения используйте клавиши панели управления рисунка.

       Выберем в качестве обобщенной координаты угол  φ, образуемый нитью с вертикальной прямой и составим Лагранжиан:

Здесь  m  - масса подвешенного точечного тела;  l  - длина нити.

       Уравнение Лагранжа имеет вид:

       Точное решение этого дифференциального уравнения выражается через эллиптическую функцию. Если ограничить анализ случаем малых колебаний (), то   , что влечет

.

       Полученное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Его общее решение можно представить в виде

       Следовательно, математический маятник совершает гармонические колебания. Для нахождения периода  T  колебаний маятника достаточно воспользоваться свойством периодичности синуса:  .
       Тогда

.