Теорема Нётер   

В Теоремах 1 и 2 рассматривались функционалы инвариантные относительно специального семейства преобразований. Для общего семейства преобразований известен следующий результат.

Теорема. Пусть семейство преобразований  (  задается уравнениями

   (1)  

причем  , а функции    непрерывно дифференцируемы по  . Тогда, если функционал

   (2)  

инвариантен относительно преобразований ( , то первым интегралом его системы уравнений Эйлера является

  .  (3)  

Доказательство. Исходя из инвариантности функционала (2), имеем

Учитывая, что функция  является экстремалью функционала и, следовательно, удовлетворяет системе уравнений Эйлера, а также то, что согласно преобразованию  получаем

  .  (4)  

Найдем  и . Из дифференцируемости функций  по  имеем

   при

Поэтому (4) принимает вид

при

Отсюда следует, что

Теорема доказана.