Пусть  - множество в   и

Определение. Взаимно – однозначное отображение  называют преобразованием.

Преобразование Т переводит каждую точку  в некоторую точку  и может быть выражено функционально в виде

(1)

где  - некоторые функции.

Рассмотрим семейство преобразований  из G в G, где I – некоторое множество индексов в  или , причем точка O является предельной точкой для I, то есть в любой окрестности O существуют точки из I. Функционально это семейство преобразований задается в виде

(2)

Предположим, что эти функции дифференцируемые и при  преобразование  тождественно, то есть

Возьмем некоторую непрерывно дифференцируемую функцию   на (a, b), и выделим отрезок кривой  , заключенный между точками  и  , где  .  Обозначим его , то есть

Под действием  отрезок кривой  преобразуется в кривую .

Рассмотрим теперь функционал от

(3)

Для преобразованной кривой   этот функционал принимает некоторое значение

(4)

Определение. Функционал  называется инвариантным относительно семейства преобразований  , задаваемого равенствами  (*), если для любого 

(5)

Пример инвариантного преобразования.

Пусть   , то есть точка  переводится преобразованием  в точку .

Под действием  кривая  преобразуется в кривую . При этом точка  переходит в точку

Отсюда находим

В результате мы приходим к следующему заключению.

Предложение 1. Пусть семейство преобразований  задается равенством (2) и функция  не зависит явно от х.

Тогда функционал , определяемый равенством (3), инвариантен относительно семейства преобразований .