Задачи классического вариационного исчисления

Вариационное исчисление возникло в то же время, что и математический анализ, в связи с задачей отыскания кривой, обладающей некоторым свойством максимума или минимума.        Впервые такая задача была поставлена Ферма при изучении задач геометрической оптики об отражении и преломлении света. Пьер Ферма положил в основу исследования закона преломления принцип кратчайшего времени, из которого он вывел закон преломления света.        По мнению Ферма, при изучении движения света следует рассматривать не кратчайшие расстояния или линии, а те пути, которые требуют более короткое время для своего прохождения.        Укажем некоторые ключевые задачи, оказавшие наибольшее влияние на развитие вариационного исчисления: Задача о кратчайшем времени в геометрической оптике. Задача о линии набыстрейшего спуска в механике. Задача о кратчайших линиях, соединяющих точки на поверхности.        Решение этих задач связано с нахождением наибольшего или наименьшего значения функционала вида        в котором подынтегральная функция  F (x, y, y')  рассматриваеися как заданная, а ее вид определяется спецификой конкретной задачи.        Например, длина дуги плоской кривой, соединяющей две заданные точки  A(x0, y0)  и  B(x1, y1), описывается функционалом        Постановка задачи оптимизации в геометрической оптике выглядит следующим образом.        Пусть имеется неоднородная, изотропная среда, в каждой точке  (x, y, z) которой определена скорость распространения света v(x, y, z), зависящая от изменения по объему преломляющих свойств среды.        Время распространения света из одной точки в другую является функцией от линии его распространения и определяется интегралом        где  ds  – элемент длины линии. Выбирая в качестве параметра линии переменную  x, получаем        Математическое выражение принципа Ферма сводится к тому, что реальное движение света происходит вдоль такой линии, для которой время  T  движения минимально.