Первая вариация функционала   
       Рассмотрим функционал вида

   (1)  

       Предположим, что  F  - заданная функция всех трех аргументов, имеющая непрерывные производные до второго порядка включительно на множестве  a ≤ x ≤ b,  –∞ < y, y' < +∞.

       В качестве области определения функционала возьмем класс функций  y = f (x)  на отрезке  [a, b], удовлетворяющих граничным условиям

  y (a) = A,            y (a) = B  (2)  

       и принадлежащих множеству функций на  [a, b], имеющих непрерывные производные первого порядка (это множество обозначается  C(1) [a, b]).

       Определение. Говорят, что функционал (1) достигает относительный минимум (максимум) для кривой  y0(x)  из класса  C(1) [a, b], удовлетворяющей граничному условию (2), если

J(y) ≥ J(y0)            ( J(y) ≤ J(y0) )

       для любых других кривых класса  С(1), удовлетворяющих (2) и достаточно близких к функции  y0 = f0 (x)  в том смысле, что для некоторого  ε > 0  ыполняются неравенства

       Выведем необходимые условия, которым должна подчиняться функция  y0(x)  для того, чтобы функционал  J (y)  достигал максимума или минимума для  y0(x).
Пусть  y = f (x)  – функция из  C(1) [a, b]), удовлетворяющая (2). Возьмем любую функцию  η(x)  из  C(1) [a, b])  такую, что  η(a) = η(b) = 0.
Образуем новую функцию  y(x) + α η(x)  и, подставляя ее в функционал  J (y), получим функцию параметра  α

   (3)  

       Определение. Если существует производная

       то она называется первой вариацией функционала  J (y) и обозначается  δJ (y, h).