Экстремумы функций и оптимизация функционалов

Экстремумы функций и оптимизация функционалов

Экстремумы функций
       Напомним основные понятия и результаты, относящиеся к проблеме нахождении экстремума дифференцируемой функции u = u(P) одной или нескольких переменных. (Здесь P – произвольная точка в пространстве соответствующей размерности.)

       Точка P₀ является точкой минимума функции u(P), если

(1)

для всех точек P, принадлежащих достаточно малой окрестности точки P₀ .

       Точка P₀ является точкой максимума функции u(P), если

(2)

для всех точек P, принадлежащих достаточно малой окрестности точки P₀ .
       Точка P₀ является точкой экстремума функции u(P), если приращение Δu сохраняет свой знак для всех точек P, принадлежащих достаточно малой окрестности точки P₀ .
       Необходимым условием наличия у функции u экстремума в точке P₀ является обращение в нуль в этой точке ее дифференциала:

(3)

Справедливость этого утверждения легко доказать от противного. Действительно, в первом приближении приращение функции u в точке экстремума можно представить в виде Δu = du. Предположим, что дифференциал функции    в точке P₀ отличен от нуля:

(4)

Тогда линейность формы дифференциала функции относительно приращений dx, dy, ... означает, что при изменении направления смещения из точки P₀ на противоположное изменяют свои знаки дифференциал и приращение функции u и, следовательно, точка P₀ не является точкой экстремума.

       Заметим, что условие (3) влечет за собой равенство нулю в точке экстремума всех частных производных функции u.

(5)

Оптимизация функционалов
       Вариация функционала    обращается в нуль на кривых, на которых достигается экстремум функционала. Такие кривые называются экстремалями функционала.
       Необходимое условие существования экстремали функционала    описывается уравнением

(6)

       Интуитивный подход, основанный на сопоставлении понятий дифференциального и вариационного исчислений, позволяет сформировать на определенном уровне восприятия более или менее стройные представления о ключевых концепциях вариационного исчисления. Однако следует с большой долей осторожности относиться к использованию аналогий, пытяясь распространить привычные утверждения в сферу действий с объектами другой природы. Некоторые данные в параллель понятия вариационного исчисления нуждаются в уточнениях и дополнениях.

       Во-первых, требуется уточнить критерии выбора допустимого класса функций, в котором выбирается оптимальная функция в смысле минимизации функционала . Выбор допустимого класса функций требует конкретизации типа задач, решение которых связано с оптимизацией функционала. Например, для нахождения траектории перехода частицы из одной точки в другую в качестве допустимого класса функций должны выступать функции с закрепленными концами (в начальной и конечной точках траектории). При изучении другого круга задач границы могут рассматриваться как подвижные и так далее.

       Во-вторых, следует сформулировать уравнения, выражающие неободимое условие существования экстремума функционала    в терминах функциональных производных функционала по функциям y_i (x) (i = 1, ..., n), которые являлись бы аналогом уравнений (5) из дифференциального исчисления.
       В вариационном исчислении такие уравнения называются уравнениями Эйлера, которые отличается по сути и по форме от аналогичных уравнений из дифференциального исчисления. Для функционалов, используемых в физических приложениях, уравнение Эйлера в большинстве случаях представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (или систему дифференциальных уравнений второго порядка).