Эквивалентность определений вариации функционала   
       Пусть функционал определен выражением
  .  (1)  

  1. Рассмотрим процедуру выделения линейной части приращения функционала. Представим приращение функционала    в виде

     

    		 (2)  

    Согласно формуле Тейлора,
       (3)  
    Линейная часть приращения функции  F  описывается первым дифференциалом  dF :

       (4)  

    Таким образом,
       (5)  
    где 0(δy) - бесконечно малая величина более высокого порядка по сравнению с варицией  δy.

    Следовательно, вариация функционала (1) равна

       (6)  

  2. Рассмотрим теперь вывод выражения для вариации функционала (1), основываясь на определении

       (7)  
    Очевидно, что

     
    .     		 (8)  

    Полагая   получаем выражение (6).