Дифференциал функции и вариация функционала   
  1. Дифференциал функции

    Приращение аргумента (или дифференциал аргумента) есть произвольное изменение  Δx = dx  переменной  x  в пределах области определения функции  f .

    Приращение функции  f  прелставляет собой ее изменение  Δf , обусловленное приращением аргумента.

    В случае функции одной переменной

       (1)  

    Аналогично, приращение функции  f (x, y)  двух переменных определяется выражением

       (2)  

    Дифференциал функции есть главная линейная часть ее приращения относительно дифференциалов аргументов.

    В частности, дифференциал функции  f  одной переменной  x  имеет вид


       (3)  
    где  

    Важно отметить, что чисто формально дифференциал функции  f (x)  можно определить уравнением

       (4)  
    Действительно,
       (5)  
    что обращается в    при  .

  2. Вариация функционала

    Пусть функционал    определен в некотором классе функций  y (x).
    Вариация функции  y (x)  (или приращение функции)  является аналогом приращения аргумента  x  функции  y (x)  и представляет собой произвольную функцию  η (x), добавление которой к  y (x)  не изменяет принадлежности полученной функции к заданному классу функций:

       (6)  

    Под приращением функционала    понимается разность

       (7)  

    Приращение функционала    определяется аналогичным образом:

       (8)  

    Аналогом дифференциала функции  f (x)  является вариация функционала  , которая обозначается символическим выражением    и представляет собой главную линейную часть приращения функционала относительно вариации аргумента:

       (9)  

    Заметим, что не всегда можно выделить главную линейную часть    приращения  . В таких случаях – и не только в таких – можно использовать равноправное представление вариация функционала  J [y (x)]  в виде

       (10)