Примеры функционалов


	Функционалы

Пример 1. Определим функционал

уравнением

где y = y (x) – непрерывно-дифференцируемые функции на отрезке [0,1], удовлетворяющие граничным условиям y(0) = 0 и y(1) = 1.
Если y = sin x, то

Если y = x², то

***

Пример 2. Одно из основных свойств дельта-функции Дирака выражается формулой

Это равенство можно интерпретировать как определение функционала

сопоставляющего каждой функции y (x) ее значение при x = 0:

В частности, если y = cos x, то

Любой интеграл, содержащий под своим знаком δ-функцию, может рассматриваться в качестве функционала подобного вида.

***

Пример 3. Рассмотрим представление периодической функции f (x) с периодом 2L в виде ряда Фурье:

где коэффициенты Фурье определяются формулами

и фактически представляют собой функционалы A_n [f (x)] и B_n [f (x)], заданные в классе периодических функций, удовлетворяющих условиям Дирихле.

***

Пример 4. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху линией y = f (x), с боков – вертикальными отрезками x = a и x = b, снизу – осью 0x, описывается формулой

Это равенство можно рассматривать как правило сопоставления положительно определенным интегрируемым функциям соответствующих числовых значений и, следовательно, площадь плоской фигуры представляет собой функционал

***

Пример 5. Длина дуги плоской кривой y = f (x), заключенной между точками x = a и x = b, описывается формулой

Следовательно, длину дуги такой кривой можно рассматривать как функционал

Закрыть окно