Представим уравнение Эйлера в следующем развернутом виде:
(1)
Переменная, которая не содержится явным образом в выражении для функции F, называется циклической.
Рассмотрим случай, когда переменная x является циклической переменной, то есть
. Тогда уравнение Эйлера принимает вид
(2)
Умножим обе части этого равенства на y':
(3)
Легко проверить, что выражение в левой части представляет собой полную производную по x функции
.
Действительно,
(4)
Таким образом,
(5)
что влечет
(6)
В результате порядок уравнения Эйлера понижается на единицу.
. Тогда уравнение Эйлера принимает вид
.
