Потенциальное поле

Пример 1. Пусть  r – радиус-вектор точки  M (x, y, z).
Показать, что векторное поле
является потенциальным и найти его потенциал.
Решение. Обратимся к примеру 1, рассмотренному в разделе “Градиент скалярного поля”. Согласно полученному там результату,
Следовательно, векторное поле  E  можно представить в виде
где – потенциал поля  E.

***
Пример 2. Пусть  r  – радиус-вектор точки  M (x, y, z)  и – произвольная дифференцируемая функция.
Показать, что векторное поле вида
является потенциальным и найти его потенциал.
Решение. Воспользуемся результатом, полученном при обсуждении примера 2  в разделе “Градиент скалярного поля”:
Следовательно,
Таким образом, любое скалярное поле вида является потенциалом некоторого векторного поля.

***
Пример 3. Показать, что векторное поле
является потенциальным.
Решение. Вычислим частные производные от координат вектора  A:


Очевидно, что условия потенциальности векторного поля выполняются:

***
Пример 4. Показать, что векторное поле
является потенциальным.
Решение. Вычислим частные производные от координат вектора  A:


Очевидно, что условия потенциальности векторного поля выполняются.
Закрыть окно