|
Функции f (x) и g (x) называются ортогональными
на промежутке (a, b), если их скалярное произведение равно нулю:
| |
|
(1) |
|
Если функции  некоторого полного набора являются ортогональными на промежутке (a, b), то скалярное произведение  удовлетворяет условию ортогональности
| |
|
(2) |
|
Это условие можно также представить в виде
| |
|
(3) |
|
где  – дельта-символ Кронекера, определяемый формулой
| |
|
(4) |
|
Заметим, что дельта-символ Кронекера “снимает” суммирование в выражениях вида  :
| |
|
(5) |
|
Функции , нормированные на единицу и ортогональные на промежутке (a, b), называются ортонормированными. Условие ортонормированности функций имеет вид
| |
|
(6) |
|
Для сравнения приведем условие ортогональности единичных векторов  трехмерного векторного пространства:
| |
|
(7) |
|
Сходство формулы
| |
|
(8) |
|
разложения функции f (x) по полному набору фунуций  с формулой
| |
|
(9) |
|
разложения вектора a по базису векторного пространства – равно как и сходство условий ортонормированности (6) и (7) – не является чисто внешним, а выражает собой тот факт, что обычные вещественные функции могут рассматриваться в качестве векторов бесконечномерного векторного пространства, базис которого составляют функции полного набора (в общем случае – комплексные).
Если элементами такого базиса являются ортонормированные функции, то говорят, что их совокупность образует гильбертово пространство.
|
