Дельта-функция Дирака   
       Рассмотрим функцию  δ (x, γ)  колоколообразного типа, зависящую от параметра  γ  и удовлетворяющую условию
   (1)  
при любых (достаточно малых) значениях параметра  γ.

       Предположим, что при убывании  γ  график этой функции вытягивается вдоль оси 0y и одновременно сжимается, как это показано на рисунке.

          

В результате предельного перехода  γ → 0  функция  δ (x, γ)  преобразуется в дельта-функцию Дирака  δ (x):
   (2)  
При этом
   (3)  
В некотором смысле дельта-функция представляет собой обобщение дельта-символа Кронекера, определяемого условиями
   (4)  
Очевидно, что дельта-функция является четной функцией,
δ (–x) = δ (x),
и обладает следующими свойствами:
 
 (5)  
       Действительно, для любого сколь угодно малого числа  ε > 0  функция    равна нулю за пределами  ε-окрестности точки  x0. Поэтому
 

 (6)