Бесконечные ряды   
      Бесконечный ряд представляет собой выражение вида
   (1)  
Заметим, что нумерация членов ряда может начинаться с любого целого числа, например, с нуля.

      Ряд называется числовым, если его элементами являются числа (вещественные или комплексные).
Примеры числовых рядов:
 ,
 .
      Членами функционального ряда являются некоторые функции.
Примеры функциональных рядов:


      Сумма
   (2)  
конечного числа первых  n  членов бесконечного ряда (1) называется частичной суммой ряда (1).

      Если последовательность частичных сумм    имеет конечный предел  S  при  , то говорят, что бесконечный ряд (1) сходится к числу  S, которое называется суммой данного ряда:
   (3)  
      Если же предел (3) не существует или равен бесконечности, то ряд (1) называется расходящимся.

      В качестве простейшего примера сходящегося ряда можно привести геометрическую прогрессию, знаменатель  q  которой по абсолютной величине меньше единицы:
   (4)  
Частичная сумма этого ряда равна
   (5)  
и имеет конечный предел при  . Поэтому геометрическая прогрессия имеет своей суммой
   (6)  

      Примером расходящегося ряда может служить выражение
  ,  (7)  
частичная сумма которого равна
   (8)  
и стремится к бесконечности при  .

      Расходящимся является также ряд
   (9)  
последовательность частичных сумм которого не стремится к какому бы то ни было пределу, принимая поочередно значения 1 и 0:
   (10)  
      Иногда подобные ряды называют осциллирующими.